Algebrans fundamentalsats kan formuleras som

Ett polynom

av graden med komplexa koefficienter har minst ett komplext nollställe.

Varje algebraisk ekvation med komplexa koefficienter av graden , där är större än 1, har precis komplexa nollställen, räknade med multiplicitet (några nollställen kan vara lika). En formelmässig formulering av detta är

Ett polynom

av graden med komplexa koefficienter har en faktorisering

där är polynomets nollställen.

Detta kan tyckas vara ett starkare påstående, men det kan lätt visas vara ekvivalent med den första formuleringen genom användning av faktorsatsen.

Att koefficienterna anges vara komplexa tal innefattar fallet att de är reella tal, då de reella talen är isomorfa med de komplexa tal för vilka imaginärdelen är noll. Nollställena kan emellertid vara icke-reella även om alla koefficienter är reella.

ExempelRedigera

En andragradsekvation

 

har alltid två rötter. Dessa är

 

Om uttrycket under rottecknet är

  • större än noll, är rötterna olika och reella
  • mindre än noll, är rötterna olika och icke-reella
  • lika med noll, är rötterna lika och reella

Ett komplexanalytiskt bevisRedigera

Absolutbeloppet av ett polynom med komplexa koefficienter kan skrivas som

 

där  .

Det framgår att   .

Antag att   saknar nollställen. Då är funktionen   en hel analytisk funktion. Eftersom den har gränsvärdet 0 då absolutbeloppet av   går mot oändligheten är den begränsad i hela komplexa talplanet. Enligt Liouvilles sats är därför   konstant. Men då är även   konstant, vilket är en motsägelse då  .

Följaktligen har   minst ett komplext nollställe.

Algebraiska bevisRedigera

Satsen kan också visas med mer algebraiska metoder. På grund av den topologiska naturen i konstruktionen av reella, och därmed komplexa, tal kan man emellertid inte helt undvika topologiska metoder. Man kan emellertid visa, med hjälp av bland annat galoisteori att en utvidgning av grad 2 av en reellt sluten kropp är algebraiskt sluten. Därmed följer algebrans fundamentalsats om man kan visa att de reella talen är reellt slutna. Detta svarar mot att uddagradspolynom alltid har lösningar, någon som kan visas med hjälp av satsen om mellanliggande värden

Se ävenRedigera