Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, , går att lösa. Det enda kravet på funktionen är att den skall vara kontinuerlig.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värdenRedigera

Låt   vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall  . Antag att funktionsvärdena   och   är olika. Om   är ett tal som ligger mellan talen   och  , så finns det ett motsvarande tal,  , som ligger mellan talen   och   med egenskapen att

 .

Användningar av Bolzanos satsRedigera

Vi är intresserade av att lösa ekvationen  , där   är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet

 

Vi ser att funktionsvärdena   och   är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem.

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal  , som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att  . Det existerar därför en lösning till ekvationen   och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet,  , i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena   och   : Om  , så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om  , så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att  , vilket visar att   är en lösning till tredjegrads-ekvationen

 
Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos satsRedigera

Vi antar att funktionsvärdet   är mindre än   och väljer ut ett godtyckligt tal,  , som ligger mellan dessa värden:

 

Associerat med detta tal bildar vi mängden

 

(Mängden   är icke-tom, eftersom det innehåller talet  :  )

Talet   är en övre begränsning till mängden   – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen   den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden  :

 

(Supremum existerar eftersom paret   är en välordnad mängd.)

Vi skall visa att talet   har den önskade egenskapen att  , genom att utesluta de två övriga möjligheterna   och  

Om funktionsvärdet   så är   också, om talet   ligger tillräckligt nära talet  . Anledningen till detta är att funktionen   är kontinuerlig i punkten  .

Kontinuiteten hos funktionen   i punkten   innebär att talet   ligger nära talet   :
 
om talet   ligger tillräckligt nära talet  ,
 
Vi har tillåtelse att välja det positiva talet   som vi vill. Om vi väljer det positiva talet  , så ser vi att  

Det går att välja talet   så litet att det öppna intervallet   helt ligger innanför det slutna intervallet  .

Det finns alltså tal   i mängden   med egenskapen att  . Eftersom   ligger i mängden  , måste   vara mindre än varje övre begränsning av  , speciellt måste   vara mindre än den minsta övre begränsningen av  : Talet   Detta innebär att vi har fått en motsägelse:

Talen   besitter de två motstridiga egenskaperna att   och  

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet   Därför har vi lyckats visa att olikheten   inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då  , visar man att olikheten   inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att   vilket var vad vi ville bevisa.

Eftersom talet   var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

KällorRedigera

  • Folke Eriksson, Eric Larsson och Gösta Wahde (1993). Matematisk analys med tillämpningar: Del 2