Öppna huvudmenyn
Andragradspolynomets nollställen är skärningspunkterna med x-axeln

Inom matematiken är en andragradsekvation med en obekant, en ekvation av formen

Talen a, b och c är ekvationens koefficienter och uttrycket [1] betyder att a är skilt från noll. Prefixet andragrads innebär att 2 är den högsta potens med vilken det obekanta talet x förekommer i ekvationen.

Innehåll

Lösningar till andragradsekvationerRedigera

 
A: Två skärningspunkter, två reella rötter
B: En skärningspunkt, en reell dubbelrot
C: Ingen skärningspunkt, rötterna komplexa

Att lösa en andragradsekvation med reella koefficienter motsvaras av att finna skärningspunkterna för parabeln

 

och den räta linjen

 

vars riktningskoefficient k är -b/a och som skär y-axeln i punkten (0, m), där m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

 

Om skärningspunkter saknas har ekvationssystemet endast komplexa lösningar.

En andragradsekvation har, i enlighet med algebrans fundamentalsats, alltid två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på ekvationens koefficienter:

  •  
har två lösningar som är identiska reella tal (dubbelrot)
  •  
har två reella lösningar
  •  
har två lösningar som är komplexa tal

Ekvationens diskriminant (se nedan) avgör vilket av de tre fallen som gäller.

LösningsformelnRedigera

Lösningsformeln, även kallad rotformeln, för andragradsekvationen

 

är

 
eller
 

Om a = 1, eller genom division med a, kan ekvationen skrivas som

 

och den så kallade pq-formeln ger lösningarna som

 
eller
 

där

 

är ekvationens diskriminant.

Om koefficienterna är komplexa tal kan kvadratrotens argument vara komplext och då måste en metod för kvadratrotsberäkning av komplexa tal användas.

HärledningRedigera

Formlerna för andragradsekvationens lösningar (rötter), kan härledas genom kvadratkomplettering. Först divideras med koefficienten för x2-termen, som enligt förutsättning är nollskild, vilket innebär övergång till formatet

 

Kvadratkomplettering genom addition av   till båda leden och överflyttning av q:

 

Genom användning av en kvadreringsregel på vänsterledet kan ekvationen skrivas

 
 

vilket ger

 

Rötter då koefficienterna är reellaRedigera

 
Rötternas beroende av diskriminanten
D < 0: två komplexa rötter
D = 0: en dubbelrot; skärningspunkten med x-axeln
D > 0: två reella rötter; skärningspunkterna med x-axeln

Den typ av rötter (reella eller komplexa tal) som andragradsekvationen

 

har, beror på ekvationens diskriminant, D, vilken är uttrycket under lösningsformelns kvadratrotstecken:

 

Två lika och reella rötter (dubbelrot)Redigera

Andragradsekvationen har en dubbelrot om, och endast om, diskriminanten är noll:

 

Villkoret D = 0 kan bara uppfyllas av andragradsekvationen

 

Ekvationen

 

har en dubbelrot, då ekvationens diskriminant är noll:

 

Dubbelroten är

 

Två olika och reella rötterRedigera

Andragradsekvationen har två olika reella rötter om, och endast om, diskriminanten är ett positivt tal:

 

Ekvationen

 

har två olika reella rötter, eftersom diskriminanten är ett positivt tal:

 

De båda rötterna är

 
 

Två komplexa rötterRedigera

I övriga fall har andragradsekvationen två komplexa rötter som är varandras komplexkonjugat. Med hjälp av absolutbeloppsfunktionen kan rötterna skrivas som

 

Ekvationen

 

har två komplexa rötter, då diskriminanten är negativ:

 

De båda rötterna är det komplexa konjugatparet

 
 

där i betecknar den imaginära enheten.

Rötter då koefficienterna är komplexaRedigera

Tillämpning av lösningsformeln kräver i det allmänna fallet beräkning av roten till ett komplext tal.

Om det komplexa talet z skrivs i polär form som

 

där r, talets absolutbelopp, är ett reellt tal, kan den komplexa kvadratroten av z beräknas enligt

 

där   är argumentet till z. Hur argumentet beräknas, se komplexa tal, polär form.

Ekvationen

 

har två olika komplexa rötter och diskriminanten är komplex:

 
 
 
 

Utan beräkning av komplex rotRedigera

Ekvationen kan lösas utan beräkning av en komplex rot. Utgå från ekvationen

 

Efter kvadratkomplettering genom addition av   till båda leden och omflyttning av d:

 

Sätt

 

Högerledet i (1) är en konstant och kan skrivas  . Ekvation (1) övergår då till

 

Vänster- och högerledens reella och imaginära delar skall överensstämma för likhet. Även beloppen skall vara lika. För realdelar respektive belopp gäller då

 
 

Om ekvationerna adderas kan x beräknas och därefter y. z bestäms sedan med hjälp av ekvation (2).

Samband mellan rötter och koefficienterRedigera

Antag att ekvationen skrivs på formen

 

Talen   och   är rötter till en andragradsekvation om ekvationen kan skrivas som produkten av två faktorer av första ordningen:

 

Om uttrycket utvecklas framgår att sambandet mellan andragradsekvationens koefficienter och dess lösningar är

 

Talet   är således lösningarnas aritmetiska medelvärde och talet   är lösningarnas geometriska medelvärde, förutsatt att koefficienten q är ett positivt tal:

 

Konjugatkomplettering genom variabelsubstitutionRedigera

Ett andragradsuttryck kan transformeras via variabelsubstitution enligt

 
Sätt
 
i högerledet, vilket ger
 

Metoden kan användas för att lösa andragradsekvationer. Exempel:

 
Omskrivning ger
 
Gör substitutionen
 
som insatt i (1) ger
 
och alltså är
 
Enligt substitutionen är då
 

TillämpningarRedigera

 
Banan för en simhoppare

En simhoppares bana kan anses följa en parabel om luftmotståndet försummas. Hopparens horisontella hastighet är konstant och den horisontella rörelsen kan beskrivas med den linjära funktionen

 

där t är tiden och   är den initiala hastigheten i horisontalled. Hopparen har en konstant acceleration i vertikalled och den vertikala rörelsen kan beskrivas med den kvadratiska funktionen

 

där   är den initiala hastigheten i vertikalled och h är den initiala höjden. Banan kan därmed beskrivas med andragradsfunktionen

 

vilken till exempel kan lösas som en andragradsekvation för konstanta y.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

NoterRedigera

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html