Faktorsatsen är en sats inom algebran som beskriver att ett polynom kan faktoriseras med hjälp av dess nollställen.

Satsen är tillsammans med nollproduktmetoden mycket användbar för att lösa polynomekvationer av högre grad.

FaktorsatsenRedigera

Satsen kan formuleras

  är en faktor till polynomet   om och endast om det komplexa talet   är ett nollställe till  .

Det innebär alltså att ifall ett nollställe   till ett polynom   är känt kan man bryta ut en faktor   ur  .

Notera att ekvivalensen ("om och endast om") mellan påståendena innebär att även det omvända gäller, d.v.s. att   är ett nollställe till   om och endast om   är en faktor till  .

ExempelRedigera

Vi har polynomet

 

och vi vet att  .

Eftersom   är ett nollställe ger faktorsatsen att   måste vara en faktor till  . Detta kan visas genom att använda polynomdivision:

 

Det stämmer alltså att   är en faktor till  . Med hjälp av den ovannämnda ekvivalensen kan vi även se att   måste vara ett nollställe till   eftersom   är en faktor till  .

BevisRedigera

För att bevisa faktorsatsen räcker det med att visa att

 

för något polynom  .

Detta kommer vi att göra i två delar för att tillgodose ekvivalensen mellan påståendena.

  1.   (Ett nollställe   medför att   är en faktor)
  2.   (Att   är en faktor medför att   är ett nollställe)

Del 1: Nollställe medför faktorRedigera

Med hjälp av polynomdivision kan   skrivas

 

där   och   är kvoten respektive resten av   efter division med  .

Efter tillräckligt många iterationer av polynomdivision är alltid graden av resten mindre än graden av polynomet man delar med. Eftersom   är av grad 1 betyder det att   måste vara av grad 0, alltså en konstant. Det betyder att vi kan skriva   som en konstant  . Det ger:

 

Sätter vi nu in   får vi:

 

  är alltså lika med  . Eftersom vi också vet att   är ett nollställe till   måste alltså  , vilket ger att   är

 

V.S.B.

Del 2: Faktor medför nollställeRedigera

 

blir

 

alltså är

 

V.S.B.

KällorRedigera