Supremumnormen, även kallad Tjebysjovnormen eller informellt oändlighetsnormen, är inom matematisk analys en norm för funktioner. Normen tilldelar ett reellt positivt tal till en reell eller komplex funktion. Förenklat kan man säga att supremumnormen mäter "storleken" på en funktion.

Definition och användningRedigera

Låt X vara en mängd och  . Supremumnormen för   är talet

 .

Fast   kallas supremumnormen är detta inte alltid en norm i  . T. ex. om   vi har

 

men normen måste vara ändlig. Så man får istället definiera mängden av alla begränsade funktioner:

 

då supremumnormen är en norm, dvs paret   är ett normerat rum. Det här är ett resultat från absolutbeloppets egenskaper.

Man kan inducera en metrik från supremumnormen som mäter avståndet mellan två begränsade funktioner:

 .

Så att en följd av funktioner,  , konvergerar likformigt till en funktion   om och endast om

 

ExempelRedigera

 
Element x i   med  , där k är en konstant.
  • Om  , för  , är  . Supremum kan alltså här ersättas med maximum:   för   och   är ett normerat rum.

Väsentlig supremumnormRedigera

Om vi har ett måttstruktur i X kan vi generalisera supremumnormen. Låt   vara ett måttrum och

 .

Då är väsentliga supremumnormen för  

 

där   är väsentligt supremum.

Normerade och seminormerade rum med väsentliga supremumnormenRedigera

Några egenskaper för väsentliga supremumnormen är:

  •  ,
  •   och
  •  

för alla   och  . Detta ger att   är ett (seminormerat rum.

Seminormen   är inte en norm eftersom det finns funktioner som inte är nollfunktionen men som har en väsentligt supremumnorm som är noll, om exempelvis   får man att

 

där   är indikatorfunktionen för de naturliga talen. Resultatet ovan fås då   men

 .

Men man kan definiera en ekvivalensrelation i   genom att

  om och endast om  

och definiera väsentliga supremumnormen för ekvivalensklasser

 

där   är ekvivalensklassen med representant f:

 

Med denna struktur fås att   är ett normerat rum.

En fördel med väsentliga supremumnormen är att man kan få med fler funktioner i sitt normerade rum, då det finns måttrum   och funktioner   som har   men  .

Till exempel, om   får man att

 

eftersom   men

 

eftersom   när  .

Följaktligen kan man generalisera  . Låt

 

Så att

 

och   är ett seminormerat rum. Man kan transformera   till ett normerat rum med ekvivalensrelationen   ovan.

Relation till andra normerRedigera

Om f är en funktion så att   och   så gäller att

 .

BevisRedigera

Låt   vara större än  .

 

Eftersom   är detta mindre än

 

Eftersom   är detta mindre än

  när  

För den omvända olikheten, definiera  . Då är

  när  .

Detta gäller för alla  .