Begränsad funktion

En begränsad funktion är inom matematiken en reell eller komplex funktion $f$, definierad på någon mängd $X$, sådan att mängden av $f$:s funktionsvärden är en begränsad mängd. Med andra ord existerar det något tal M så att:

Exempel på begränsade funktioner:
Röd: nedåt begränsad
Blå: uppåt och nedåt begränsad
Grön: uppåt begränsad

$|f(x)|\leq M$

för alla $x$ i $X$. Begränsade funktioner är av intresse vid beräkning av gränsvärden.

En reellvärd funktion $f$ sägs vara uppåt begränsad om det finns ett $A$ sådant att $f(x)\leq A$ för alla $x$ i $X$ och att $f$ är nedåt begränsad om det finns ett $B$ sådant att $f(x)\geq B$ för alla $x$ i $X$.

Ett specialfall fås då $X$ är de naturliga talen, då funktionen blir en talföljd $(a_{n})$ som sägs vara begränsad om det existerar något tal $M$ så att $|a_{n}|\leq M$ för alla naturliga tal $n$.

En generalisering av begränsade funktioner ges inom metriska rum; om en funktion, definierad på någon mängd $X$, antar värden i ett metriskt rum $Y$, är funktionen begränsad om det i $Y$ existerar ett element $a$ sådant att för något $M$ är $d(f(x),a)\leq M$ för alla $x$ i $X$.

Exempel

• Funktionen sinus för de reella talen (dock inte för de komplexa) antar endast värden mellan -1 och 1 och är alltså nedåt begränsad av -1 och uppåt begränsad av 1.
• Funktionen

$f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$

är definierad för alla reella $x$ som inte är -1 eller 1, är inte begränsad, eftersom funktionen växer obegränsat då $x$ går mot 1 eller -1. Om definitionsmängden tas att vara exempelvis intervallet $[2,\infty [$ är den dock begränsad.

• Varje kontinuerlig funktion från ett kompakt rum till ett metriskt rum är begränsad.
• Dirichlets funktion är begränsad.