Parsevals formel

Parsevals formel är en formel inom Fourieranalys som relaterar en integral av en funktion till dess Fourierkoefficienter. Satsen har sitt ursprung i en sats om serier från 1799 av Marc-Antoine Parseval som senare tillämpades på Fourierserier.

Parsevals formel ger ett villkor för när likhet uppstår i Bessels olikhet. En liknande sats är Plancherels sats.

Formulering

Parsevals formel har en formulering om rummet $L^{2}[T]$ som är vanligt förekommande inom tillämpningar, men även en formulering om allmänna inre produktrum. Formuleringen i $L^{2}[T]$ är ett specialfall av den allmänna formuleringen.

Fourierserier

I rummet $L^{2}[T]$ säger Parsevals formel att för två funktioner f och g i rummet gäller att:

${\frac {1}{T}}\int _{T}f(t){\overline {g(t)}}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}$

och

${\frac {1}{T}}\int _{T}|f(t)|^{2}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{2}$

där $a_{n}$ och $b_{n}$ är Fourierkoefficienterna till f respektive g givet av:

$a_{n}={\frac {1}{T}}\int _{T}f(t)e^{-int}dt$

Inre produktrum

En allmännare form av Parsevals sats behandlar allmänna inre produktrum. Låt V vara ett inre produktrum, då säger Parsevals sats att en följd $(f_{k})$ av ortonormala element i V är fullständig (dvs, det linjära höljet av $(f_{k})$ är tät i V) om och endast om

$\|x\|=\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,v_{k}\rangle |$

för alla x i V. Som en följd av Parsevals sats får man att om $(f_{k})$ är ett fullständigt ortonormalt system i V kan varje x i V skrivas som en summa (Fourierserie):

$x=\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,v_{k}\rangle f_{k}$

och serien konvergerar i inre produktrummets norm:

$\lim _{N\to \infty }\left\|u-\sum _{k=1}^{N}\langle x,f_{k}\rangle f_{k}\right\|=0.$

Man får även följande likhet för att räkna ut skalärprodukten mellan två element genom att använda koefficienterna:

$\langle u,v\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle u,f_{k}\rangle {\overline {\langle v,f_{k}\rangle }}.$

Referenser

• Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer Verlag. ISBN 0-387-00836-5 
• Yosida, Kosaku (1980). Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-10210-8