Öppna huvudmenyn

Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas), ses som ett koordinatsystem där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

ExempelRedigera

Euklidiska rumRedigera

I det euklidiska rummet   kan varje vektor   skrivas som en summa av sina komposanter:

 

I denna summa ger enhetsvektorerna  ,   och   upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i  . I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer   som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet  

FunktionsrumRedigera

Mängden {fn : nZ} med   ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L2([0,1])

Andra rumRedigera

Mängden {eb : bB} med eb(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l2(B).

DefinitionRedigera

Linjärt spannRedigera

Låt   vara en delmängd till ett vektorrum  . Det linjära spannet av   är den mängd,  , som består av alla linjärkombinationer

 

vars koefficienter   är komplexa tal och vars komponenter   är element i mängden  .

Total mängdRedigera

En delmängd   till ett normerat rum,  , är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet  ; det vill säga om

 

Ortonormerad mängdRedigera

En delmängd   till ett pre-Hilbertrum  , säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten   mellan två element   är

 

Ortonormerad basRedigera

En delmängd   till ett pre-Hilbertrum  , säges vara en ortonormerad bas till   om   är en total, ortonormerad mängd.


  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.