Öppna huvudmenyn

Naturliga tal

heltal som är positiva
(Omdirigerad från Naturligt tal)
Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.

De naturliga talen är de heltal som är icke-negativa {0, 1, 2, 3, 4, …}, alternativt de heltal som är positiva {1, 2, 3, 4, …}. Den första definitionen är vanlig i Sverige och allmänt i matematisk logik, mängdlära och beräkningsvetenskap, medan den senare kan hittas i bland annat amerikansk litteratur och bland talteoretiker. Mängden av de naturliga talen betecknas ℕ (ett vanligt N i fetstil kan även användas). ℕ är diskret, uppräkneligt oändlig och har kardinalitet Alef-noll (ℵ₀).[1][2]

Enligt den definition som görs i Matematikterminologi i skolan, utgiven av Statens skolverk i Sverige, ingår talet 0 bland de naturliga talen. Konventionen att räkna 0 bland de naturliga talen förekom inte alls före 1800-talet och tillämpas inte av alla matematiker. Den infördes i samband med att de naturliga talen gavs en mängdteoretisk definition, enligt vilken de naturliga talen precis motsvarar kardinaltalen för ändliga mängder och 0 måste användas som kardinaltal för den tomma mängden.

En fördel med att inkludera 0 är att de naturliga talen då utgör en monoid under både addition och multiplikation. En nackdel är att man inom talteori måste göra undantag för 0 i samband med primtalsfaktorisering, då 0 inte kan primtalsfaktoriseras (1 kan faktoriseras som den tomma produkten).

För att undvika förvirring kan ℤ+ användas för att beteckna de positiva heltalen, och ℕ0 för de icke-negativa.

Formell definitionRedigera

De naturliga talen kan konstrueras med Peanos axiom, det är även möjligt att konstruera dem utifrån mängdlära:

Låt 0 = ∅ = {}, den tomma mängden.

Definiera, för varje mängd a, funktionen S(a) = a ∪ {a} som ger efterföljaren till a. Symbolen ∪ representerar union.

Om oändlighetsaxiomet gäller så existerar de naturliga talen och är snittet av alla mängder X som innehåller 0 och är slutna för S, dvs:

 

Denna mängd uppfyller Peanos axiom.

Ett naturligt tal kommer då vara mängden av alla tal som är mindre än det givna talet:

  •  
  •  
  •  
  •  

då mängden n kommer att ha n element och n är mindre än eller lika med m om och endast om n är en delmängd till m.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

Externa länkarRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.