Integration genom substitution är inom analysen en metod för att finna primitiva funktioner. Den är ett viktigt verktyg inom matematiken och kan ses som motsvarigheten till kedjeregeln inom differentialkalkyl.

Substitution av en variabelRedigera

SatsRedigera

Låt I ⊆ ℝ vara ett intervall och   vara en differentierbar funktion med integrerbar derivata. Antag att ƒ : I → ℝ är en kontinuerlig funktion. Då är
 

Med annan notation: substitutionen   ger

 

Formellt är således  , vilket är den substitution som krävs för dx.

Satsen används för att transformera en integral till en annan integral som är lättare att beräkna. Således kan formeln användas i riktningen vänster till höger eller från höger till vänster för att förenkla en given integral.

BevisRedigera

Integration genom substitution kan härledas från analysens huvudsats. Låt funktionen ƒ vara kontinuerlig på I och funktionen φ vara integrerbar över det slutna intervallet [ab]. Funktionen   är också integrerbar över [ab]. Då existerar integralerna

 

och

 

och det återstår att visa att de är lika.

ƒ är kontinuerlig, har den en primitiv funktion F. Den sammansatta funktionen Fφ är därmed definierad. Då F och φ är differentialbara, ger kedjeregeln

 

Tillämpning av analysens fundamentalsats två gånger ger

 

vilket är substitutionsregeln.

ExempelRedigera

Exempel 1: från höger till vänsterRedigera

Betrakta integralen

 

Om satsen tillämpas från höger till vänster och substitutionen u = ϕ(x) = (x2 + 1) görs, erhålls du = 2x dx och således; x dx = ½du

 

Det är viktigt att notera att då den undre gränsen x = 0 ersattes av u = 02 + 1 = 1, och den övre gränsen x = 2 ersattes med u = 22 + 1 = 5, var en transformation tillbaka till x onödig.

Exempel 2: från vänster till högerRedigera

För integralen

 

måste satsen användas från vänster till höger: substitutionen x = sin(u), dx = cos(udu är användbar, eftersom :

 
 

Den resulterande integralen kan beräknas med partiell integration eller med formeln för dubbla vinkeln följd av ytterligare en substitution.

Exempel 3: primitiv funktionRedigera

Substitution kan användas för att bestämma primitiva funktioner. Man väljer en relation mellan x och u, bestämmer motsvarande relation mellan dx och du genom differentiering och utför substitutionerna. En primitiv funktion till den substituerade funktionen kan förhoppningsvis hittas. Den ursprungliga substitutionen mellan u och x görs sedan ogjord.

På liknande sätt som i exempel 1, kan den primitiva funktionen bestämmas med denna metod:

 
 

där C är en godtycklig integrationskonstant.

Notera att det fanns inga integrationsgränser att transformera, men i det sista steget var det nödvändigt att göra den omvända substitutionen till den ursprungliga u = x2 + 1.

Substitution av flera variablerRedigera

Substitution kan användas vid integrering av funktioner av flera variabler.

I detta fall måste substitutionsfunktionen (v1,...,vn) = φ(u1, ..., un ) vara injektiv och kontinuerligt differentierbar och differentialerna transformeras som

 

där det(Dφ)(u1, ..., un ) betecknar jacobianen, determinanten, som består av φ:s partiella derivator. Detta uttryck beskriver det faktum att det absoluta värdet av en determinant till en matris är lika med volymen av den parallellotop (generalisering av parallellepiped) som spänns upp av dess kolonner eller rader.

Mer precis, satsen om substituition av flera variabler kan formuleras som

Låt U vara en öppen mängd i Rn och φ : URn vara en injektiv, differentierbar funktion med kontinuerliga partiella derivator, en jakobian , vilken är nollskild för varje x i U. Då gäller för varje reellvärd, kontinuerlig funktion f, definierad för varje φ(U),
 

ReferenserRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Integration by substitution, 3 juli 2017.