En sammansatt funktion är inom matematiken en funktion som kan bildas genom att sätta samman två funktioner. Tecknet , en mittplacerad ring som uttalas "boll", används för att ange sammansatt funktion. De flesta funktioner som förekommer kan beskrivas som sammansättningar av olika funktioner.

En illustration av den sammansatta funktionen g o f.

DefinitionRedigera

Vid två givna funktioner f och g definieras sammansättningen av f(x) och g(x) genom

 

Här kallas funktionen   den inre funktionen och funktionen   den yttre funktionen.

ExempelRedigera

 
Exempel på sammansättning av två funktioner

Låt funktionerna   och   vara givna.

Vid sammansättning av f och g blir då den sammansatta funktionen  . Variabeln x i funktionen f(x) byts ut mot funktionen g(x).

Betraktas istället sammansättningen av g och f får vi   som den sammansatta funktionen. I detta exempel har istället förekomsterna av x i funktionen g(x) bytts ut mot funktionen f(x).

Eftersom till exempel   men  , är inte   samma funktion som  . Med andra ord är   inte en kommutativ operator.

Ett ytterligare exempel är fallet där   och  . I detta exempel är funktionerna varandras inverser. Dessa funktioner möjliggör följande sammansättningar:   och  .

Detta visar att sammansättningen av en funktion och dess invers är en funktion som lämnar argumentet oförändrat. Sammansättningen avbildar alltså den inre funktionens definitionsmängd på sig själv.

ReferenserRedigera

  • Stewart James, "Calculus" 5th edition, (2003), s. 44-45
  • Böiers Lars-Christer, Persson Arne, Analys i en variabel, Tredje upplagan, (2010), Lund: Studentlitteratur, s.92-94
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.