Öppna huvudmenyn

Jacobimatris (också kallad jacobian eller funktionalmatris), efter Carl Gustav Jakob Jacobi, är en matris bestående av olika partialderivator som tillhör ett system av funktioner. Tillsammans med sin determinant (jacobideterminanten) används den inom vektoranalysen. Både matrisen och dess determinant kan ibland något informellt benämnas jacobian.

JacobimatrisRedigera

Jacobimatrisen är en matris innehållande alla första ordningens partiella derivator för en vektorvärd funktion, och är av betydelse då den representerar den bästa linjäraapproximationen av en differentierbar funktion i en omgivning till en given punkt. Jacobimatrisen kan därmed ses som en motsvarighet till derivata för vektorvärda funktioner.

Låt   vara en funktion från ett euklidiskt rum av dimension n till ett euklidiskt rum av dimension m. En sådan funktion ges av m reella funktioner,

 

Om de existerar kan de partiella derivatorna av dessa funktioner ordnas i en jacobimatris enligt

 

Ett alternativt skrivsätt är

 

Matrisens i:e rad ges alltså av gradienten till  .

Om p är en punkt i   och   är differentierbar i p, så ges dess derivata av  . Här kommer den linjära transformation som beskrivs av   att vara den bästa möjliga approximationen av   i en omgivning till p, i den meningen att

 

för x nära p.

InversRedigera

Om jacobimatrisen är kvadratisk och inverterbar, kan dess invers antingen fås genom gausselimination, eller genom att inse att jacobimatrisen transformerar vektorn bestående av differentialerna av   till vektorn bestående av differentialerna av  , nämligen

 

Genom att multiplicera båda sidor med inversen av jacobimatrisen fås

 

Om

 

istället är en funktion från ett euklidiskt rum av dimension n till ett annat euklidiskt rum av dimension n, given av de n reella funktionerna

 

så kommer

 

att vara den matris som transformerar vektorn bestående av differentialerna av

 

till vektorn bestående av differentialerna av

 ,

nämligen

 

Genom identifiering mellan de sista ekvationerna fås att

 

ExempelRedigera

Ett variabelbyte från sfäriska koordinater till kartesiska koordinater beskrivs av funktionen

 .

eller, i mer explicit form, som

 

Jacobimatrisen för detta variabelbyte är

 

Jacobimatrisen för funktionen   med komponenterna

 
 
 
 

är

 

vilket visar att jacobimatrisen inte behöver vara kvadratisk.

JacobideterminantenRedigera

Om  , det vill säga om   är en funktion från ett n-dimensionellt rum till ett annat n-dimensionellt rum, så är jacobimatrisen kvadratisk och därmed är dess determinant väldefinierad. Denna kallas jacobideterminanten och dess värde i en punkt ger viktig information om funktionen i denna omgivning. Om   är kontinuerligt differentierbar är den även inverterbar i närheten av p om jacobideterminanten är nollskild i p. Om determinanten är positiv i p bevararas  :s orientering och om den är negativ skiftas  :s orientering. Absolutvärdet av jacobideterminanten i p är den faktor med vilken   skalar om arean/volymen/hypervolymen i närheten av p, vilket används vid variabelsubstitution.

ExempelRedigera

Jacobideterminanten för funktionen   med komponenterna

 
 
 

är

 

Av detta framgår att   kastar om orienteringen i närheten av alla punkter där   och   har samma tecken och att funktionen är lokalt inverterbar överallt utom i   eller  . Ett litet objekt som befinner sig i närheten av (1, 1, 1) som mappas om av   kommer att öka sin volym 40 gånger.

AnvändningarRedigera

Jacobideterminanten används i samband med variabelbyten vid integrering av funktioner för att kompensera för basbytet. Den kommer då att förekomma som en multiplikativ term (skalfaktor) under integraltecknet. Det är vanligtvis nödvändigt att variabelbytet är injektivt, vilket innebär att jacobideterminanten är väldefinierad.

ExempelRedigera

Användning av jacobideterminanten vid beräkning av integraler kan demonstreras med en beräkning av volymen av enhetssfären  . Låt  . Volym av D ges då av uttrycket

 .

Görs ett variabelbyte till sfäriska koordinater enligt

 

transformeras volymelementet dx dy dz till

 

och området D beskrivs i de nya koordinaterna av

 .

I strikt mening är detta koordinatbyte inte injektivt i hela D, men om linjen x = y = 0 exkluderas fås ett område med samma volym som D där koordinatbytet är injektivt och det går att tillämpa koordinatbytet i volymintegralen. Volymintegralen blir därför

 

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.