Gersjgorins cirkelsats

Gersjgorins cirkelsats är ett resultat inom matematik som ger approximativa positioner för en matris egenvärden i det komplexa talplanet. Satsen är uppkallad efter Semyon Aranovich Gersjgorin som publicerade resultatet 1931.

Gersjgorins cirkelsats

Låt A vara en n  × n-matris med elementet a_ij på rad i och kolonn j. För varje rad, låt R_i vara summan av absolutbeloppen av rad i:s element, förutom diagonalelementet:

$R_{i}=\sum _{j\neq i}|a_{ij}|$.

Låt D_i vara den slutna cirkeln i det komplexa talplanet med mittpunkt i a_ii och radie R_i. Dessa D_i kallas Gersjgorinskivor. Gersjgorins cirkelsats säger att alla A:s egenvären λ_i ligger i unionen av dessa skivor:

$\lambda _{i}\in \bigcup _{i=1}^{n}D_{i}=\bigcup _{i=1}\{x\in \mathbb {C} :|a_{ii}-x|\leq R_{i}\}$.

Vidare, om D_k är disjunkt från alla andra Gersjgorinskivor, kommer ett egenvärde ligga i D_k.

I satsen kan man vid bildandet av R_i summera över A:s kolonner istället för raderna.

Bevis

Låt $\lambda$ vara ett egenvärde till $A$. Välj en egenvektor $x$ så att en komponent $x_{i}=1$ och att $|x_{j}|\leq 1\forall j\neq i$. Då $Ax=\lambda x$ gäller det att

$\sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}=\lambda$.

Uppdelning av summan och det faktum att $x_{i}=1$ ger att

$\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}+a_{ii}=\lambda$.

Därför, med hjälp av triangelolikheten, gäller att

$|\lambda -a_{ii}|={\bigg |}\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}{\bigg |}\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}||x_{j}|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}$.

Tillämpning

Eftersom en matris är singulär om och endast om A har noll som egenvärde, ger en satsen direkt att en matris är inverterbar om den är strikt diagonaldominant.

Gersjgorins cirkelsats tillämpas även inom numerisk analys vid lösningen av ekvationssystem Ax = b där A är en matris med stort konditionstal.

Se även

• Perron-Frobenius sats

Referenser

• Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (2010). Matrix Analysis. Cambridge University Press. sid. 344ff. ISBN 978-0-521-38632-6