Gersjgorins cirkelsats är ett resultat inom matematik som ger approximativa positioner för en matris egenvärden i det komplexa talplanet. Satsen är uppkallad efter Semyon Aranovich Gersjgorin som publicerade resultatet 1931. [1]

Gersjgorins cirkelsatsRedigera

Låt A vara en n  × n-matris med elementet aij på rad i och kolonn j. För varje rad, låt Ri vara summan av absolutbeloppen av rad i:s element, förutom diagonalelementet:

 .

Låt Di vara den slutna cirkeln i det komplexa talplanet med mittpunkt i aii och radie Ri. Dessa Di kallas Gersjgorinskivor. Gersjgorins cirkelsats säger att alla A:s egenvären λi ligger i unionen av dessa skivor:

 .

Vidare, om Dk är disjunkt från alla andra Gersjgorinskivor, kommer ett egenvärde ligga i Dk.

I satsen kan man vid bildandet av Ri summera över A:s kolonner istället för raderna.

BevisRedigera

Låt   vara ett egenvärde till  . Välj en egenvektor   så att en komponent   och att  . Då   gäller det att

 .

Uppdelning av summan och det faktum att   ger att

 .

Därför, med hjälp av triangelolikheten, gäller att

 .

TillämpningRedigera

Eftersom en matris är singulär om och endast om A har noll som egenvärde, ger en satsen direkt att en matris är inverterbar om den är strikt diagonaldominant.

Gersjgorins cirkelsats tillämpas även inom numerisk analys vid lösningen av ekvationssystem Ax = b där A är en matris med stort konditionstal.

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

  • Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (2010). Matrix Analysis. Cambridge University Press. sid. 344ff. ISBN 978-0-521-38632-6 

NoterRedigera

  1. ^ S. A. Gershgorin (1931). ”Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix”. Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7: sid. 749-754.