Inom matematiken är en fixpunkt till en funktion en punkt som avbildas på sig själv, det vill säga en punkt sådan att är en fixpunkt till .

En funktion med tre (synliga) fixpunkter.

För att hitta fixpunkter till en funktion kan man lösa ekvationen .

Alla funktioner har inte fixpunkter, exempelvis är fixpunktslös. I det fallet beskriver funktionen en linje som är parallell med linjen och linjerna kommer därför aldrig att mötas.

Attraktiva fixpunkter

redigera
 
Fixpunktsiteration för cosinus med begynnelsevärde -1

En attraktiv fixpunkt till en funktion   är punkt   sådan att för varje   i definitionsmängden till   som är tillräckligt nära  konvergerar serien:

 

till  .

Cosinus har en fixpunkt och den är attraktiv. "Tillräckligt nära" i det här fallet innebär alla reella tal. Serien kommer för cosinus att konvergera mot 0,73909... Dock är inte alla fixpunkter attraktiva, till exempel så har funktionen   en fixpunkt i  , men i alla närheter av   (förutom just i  ) kommer funktionen att avlägsna sig från   istället för att närma sig.

En fixpunkt   är garanterat attraktiv om   är kontinuerligt deriverbar i en omgivning till   och  ,

Fixpunktssatser

redigera

Det finns många fixpunktssater som garanterar att det finns en fixpunkt till en funktion under vissa omständigheter. Exempelvis Brouwers fixpunktssats och Borels fixpunktssats

Relaterade koncept

redigera