Delningsförhållande

Med delningsförhållande avses inom geometri ett avståndsförhållande mellan tre punkter på en rät linje vilket definieras enligt (se Figur 1):

Figur 1:
Olika värden (λ) på delningsförhållandet beroende på var punkten T ligger på sträckan ${\textstyle {\vec {AB}}}$, eller snarare på linjen genom dessa båda punkter.

För de tre kollinjära punkterna A, B och T gäller att T delar den riktade sträckan ${\textstyle {\vec {AB}}}$ i delningsförhållandet - vanligen betecknat (A,B;T):

$(A,B;T)={\frac {\vec {AT}}{\vec {TB}}}$

Andra beteckningar förekommer dock, som (T;A,B) eller μ(T;A,B),

En viktig egenskap hos delningsförhållanden är att de är invarianta under affina avbildningar och parallellprojektioner.

Värden

Delningsförhållandets värde (λ) beroende på läget av punkten T i förhållande till punkterna A (t=0) och B (t=1). Kurvan är en hyperbel med asymptoterna λ=-1 och t=1.

Värdet på delningsförhållandet beror av var på linjen punkten T ligger i förhållande till ${\textstyle {\vec {AB}}}$. Ligger T mellan A och B, är en inre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta positiva värden - från noll (om T=A) till oändligheten (då T närmar sig B). Ligger T utanför ${\textstyle {\vec {AB}}}$. är en yttre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta negativa värden (då en, och endast en, av ${\vec {AT}}$ och ${\vec {TB}}$ kommer att vara riktad i en negativ riktning): om T ligger på samma sida om B som A kommer värdena att ligga mellan noll (då T ligger nära A) och -1 då avståndet (åt vänster i figur 1) närmar sig -∞, medan det i motsatt fall, då T ligger längre från A än från B, delningsförhållandets värde ändras från -∞ till -1 ju längre från B som punkten T ligger.

Eftersom ${\vec {AT}}$ kan skrivas som $t\cdot {\vec {AB}}$ och ${\vec {TB}}$ som ${\vec {AB}}-{\vec {AT}}={\vec {AB}}-t\cdot {\vec {AB}}=(1-t)\cdot {\vec {AB}}$ har vi att delningsförhållandet:

$\lambda =(A,B;T)={\frac {\vec {AT}}{\vec {TB}}}={\frac {t\cdot {\vec {AB}}}{(1-t)\cdot {\vec {AB}}}}={\frac {t}{1-t}}\Rightarrow$

$\Rightarrow {\frac {1}{\lambda }}={\frac {1-t}{t}}={\frac {1}{t}}-1\Rightarrow {\frac {1}{t}}={\frac {1}{\lambda }}+1={\frac {1+\lambda }{\lambda }}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow t={\frac {\lambda }{\lambda +1}}$

Härur följer att:

${\vec {AT}}={\frac {\lambda }{\lambda +1}}\cdot {\vec {AB}}$ och ${\vec {TB}}={\frac {1}{\lambda +1}}\cdot {\vec {AB}}$ där $\lambda =(A,B;T)$

Egenskaper

Reciprocitet

Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:

$(A,B;C)\cdot (B,A;C)=1\Leftrightarrow (A,B;C)={\frac {1}{(B,A;C)}}\Leftrightarrow (B,A;C)={\frac {1}{(A,B;C)}}$

Bevis

$(A,B;C)\cdot (B,A;C)={\frac {\vec {AC}}{\vec {CB}}}\cdot {\frac {\vec {BC}}{\vec {CA}}}={\frac {\vec {AC}}{\vec {CA}}}\cdot {\frac {\vec {BC}}{\vec {CB}}}=-1\cdot -1=1$

Cyklisk permutation

Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:

(A,B;C)⋅(B,C;A)⋅(C,A;B) = 1

Bevis

$(A,B;C)\cdot (B,C;A)\cdot (C,A;B)={\frac {\vec {AC}}{\vec {CB}}}\cdot {\frac {\vec {BA}}{\vec {AC}}}\cdot {\frac {\vec {CB}}{\vec {BA}}}={\frac {\vec {AC}}{\vec {AC}}}\cdot {\frac {\vec {BA}}{\vec {BA}}}\cdot {\frac {\vec {CB}}{\vec {CB}}}=1$

Invarians under parallellprojektion

Figur 3.

Betrakta figur 3. De tre punkterna A' , B' och C' på linjen b är parallellprojektioner av punkterna A, B respektive C på linjen a. De prickade blå linjerna genom punkterna A respektive B är parallella med linjen b. Då de gröna projektionslinjerna är parallella medför detta att ${\frac {\vec {A'B'}}{\vec {AB''}}}=1$, ${\frac {\vec {A'C'}}{\vec {AC''}}}=1$ och ${\frac {\vec {B'C'}}{\vec {BC'''}}}=1$. Det vill säga att:

${\frac {\vec {AB}}{\vec {AB''}}}={\frac {\vec {AB}}{\vec {A'B'}}}$, ${\frac {\vec {AC}}{\vec {AC''}}}={\frac {\vec {AB}}{\vec {A'C'}}}$ och ${\frac {\vec {BC}}{\vec {BC'''}}}={\frac {\vec {BC}}{\vec {B'C'}}}$

Då de tre trianglarna $ABB''$, $ACC''$ och $BCC'''$ är likformiga, får vi att:

${\frac {\vec {AB}}{\vec {A'B'}}}={\frac {\vec {AC}}{\vec {A'C'}}}={\frac {\vec {BC}}{\vec {B'C'}}}=k$

Vi får således att, exempelvis, delningsförhållandet

$(A,B;C)={\frac {\vec {AC}}{\vec {CB}}}={\frac {\vec {AC}}{-{\vec {BC}}}}={\frac {k\cdot {\vec {A'C'}}}{-k\cdot {\vec {B'C'}}}}={\frac {k\cdot {\vec {A'C'}}}{k\cdot {\vec {C'B'}}}}={\frac {\vec {A'C'}}{\vec {C'B'}}}=(A',B';C')$

och motsvarande gäller övriga möjliga delningsförhållanden.

Permutationer

De tre punkterna kan permuteras på sex (=3!) olika sätt vilket leder till sex möjliga delningsförhållanden, vars värden beror av varandra enligt nedan:

$1.\ \ \ (A,B;C)={\frac {\vec {AC}}{\vec {CB}}}=r$

$2.\ \ \ (B,A;C)={\frac {\vec {BC}}{\vec {CA}}}={\frac {1}{r}}$

$3.\ \ \ (C,B;A)={\frac {\vec {CA}}{\vec {AB}}}=-{\frac {r}{r+1}}$

$4.\ \ \ (B,C;A)={\frac {\vec {BA}}{\vec {AC}}}=-{\frac {r+1}{r}}$

$5.\ \ \ (A,C;B)={\frac {\vec {AB}}{\vec {BC}}}=-(r+1)$

$6.\ \ \ (C,A;B)={\frac {\vec {CB}}{\vec {BA}}}=-{\frac {1}{r+1}}$

1 är vårt valda referensförhållande. 3 och 5 erhålls enkelt genom substitutionen ${\vec {AB}}={\vec {AC}}+{\vec {CB}}$ (samt utnyttjande av att ${\vec {XY}}=-{\vec {YX}}$). 2, 4 och 6 erhålls genom "invertering" av 1, 3 respektive 5 i enlighet med avsnittet Reciprocitet ovan.

Grafisk konstruktion av ett delningsförhållande

Figur 4:
Konstuktion av punkterma T och S som delar $\scriptstyle {\vec {AB}}$ i delningsförhållandena $\scriptstyle {5:3}$ respektive $\scriptstyle {-5:3}$.
Notera att B' ligger i motsatt riktning (snett neråt vänster) från B som A' från A i det fall delningsförhållandet är positivt, och i samma riktning (snett upp åt höger) om det är negativt.

Om man har en linje med två punkter A och B och vill konstruera punkten T som delar $\scriptstyle {\vec {AB}}$ i förhållandet m:n, det vill säga

$(A,B;T)={\frac {m}{n}}$

kan man förfara enligt följande: Man drar två parallella linjer, en genom A och en genom B. På linjen genom A avsätter man en punkt A' belägen m enheter av en lämpligt vald längd från A och på linjen genom B avsätter man en punkt B' belägen n enheter av samma längd från B - på motsatta sidan i förhållande till på linjen genom A om m:n>0 och på samma sida om m:n<0 - och förbinder dessa erhållna punkter med en rät linje. Denna linje skär linjen genom A och B i en punkt T med det önskade delningsförhållandet. (Att så är fallet visas enkelt genom att de uppkomna trianglarna AA'T och BB'T är likformiga och eftersom $\scriptstyle {{\vec {AA'}}:{\vec {B'B}}=m:n}$ så är därför även $\scriptstyle {{\vec {AT}}:{\vec {TB}}=m:n}$.)

Harmonisk delning

Betrakta sträckan $\scriptstyle {\vec {AB}}$ med en inre delningspunkt, T, vars delningsförhållande har samma belopp som en yttre delningspunkt, S, men med motsatt tecken, som i figur 4. Det vill säga att

$(A,B;T)=-(A,B,S)\Leftrightarrow {\frac {\vec {AT}}{\vec {TB}}}=-{\frac {\vec {AS}}{\vec {SB}}}\Leftrightarrow {\frac {\vec {AT}}{\vec {AS}}}=-{\frac {\vec {TB}}{\vec {SB}}}\Leftrightarrow {\frac {\vec {TA}}{\vec {AS}}}=-{\frac {\vec {TB}}{\vec {BS}}}\Leftrightarrow (T,S;A)=-(T,S;B)$

Det vill säga att punkterna A och B på ett motsvarande sätt delar sträckan $\scriptstyle {\vec {TS}}$ i förhållanden med samma belopp, men med motsatt tecken. Denna relation kallas harmonisk delning och punkterna A och B säges vara harmoniskt konjugerade i förhållande till $\scriptstyle {\vec {TS}}$, liksom S och T är det i förhållande till $\scriptstyle {\vec {AB}}$.

Om $|(A,B;T)|=|(A,B;S)|=|p|:|q|$ så är $|(T,S;A)|=|(T,S;B)|=|(p-q)|:|(p+q)|$

Litteratur

• Lindahl, Lars-Åke (2004). En inledning till geometri. Matematiska institutionen, Uppsala universitet. sid. 105–109. http://www2.math.uu.se/~lal/kompendier/Geometribok.pdf