Ej att förväxla med Hyperbol.

En hyperbel är den geometriska orten för en punkt P i planet, vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna F1 och F2, har en konstant skillnad. Hyperbeln är ett av kägelsnitten.

Hyperbel med brännpunkterna F1 och F2

Hyperbeln, som består av två oändliga grenar, är symmetrisk i förhållande till transversalaxeln, på vilken brännpunkterna ligger, och konjugataxeln. Axlarnas skärningspunkt kallas medelpunkt och genom denna går hyperbelns två asymptoter.

Ett mått på hyperbelns form är dess excentricitet e = c/a, där c är halva avståndet mellan brännpunkterna och a är avståndet från medelpunkten till skärningspunkterna med transversalaxeln. Ju större excentriciteten är desto större är vinkeln mellan asymptoterna.

Ekvationer redigera

 
Transversalaxeln är den horisontella axeln och konjugataxeln den vertikala
a — avståndet från centrum C till skärningspunkterna med transversalaxeln
e — excentriciteten
D1 och D2 kallas styrlinjer och kan användas för konstruktion av hyperbeln enligt sambandet PF1 = e PD1

Väljs sammanbindningslinjen mellan brännpunkterna till x-axel och dess mittpunktsnormal till y-axel, blir hyperbelns ekvation

 

Om A1 och A2 är skärningspunkterna med x-axeln är

 

Med

 

definieras excentriciteten som

 

Asymptoter redigera

Linjerna

 

är hyperbelns asymptoter.

För den liksidiga hyperbeln är asymptoterna vinkelräta mot varandra.

Tangenter redigera

Tangenten i punkten (x1, y1) är

 

Normaler redigera

Normalen i punkten (x1, y1) är

 

Krökningsradie redigera

Krökningsradien är

 

Konstruktion redigera

   
Brännpunkterna givna
Axlarna givna
 
Axlarna givna, Pythagoras sats

Brännpunkterna givna redigera

Låt F1 och F2 vara brännpunkterna. Drag en cirkel med godtycklig radie F2A = r med F2 som medelpunkt. Drag sedan cirkeln med radien r-2a där a är avståndet till skärningspunkten med transversalaxeln och med F1 som medelpunkt. Cirklarna skär varandra i C1 och C2 som är punkter på hyperbeln.

Axlarna givna redigera

Drag från punkten OA = a tangenten AT1 och från punkten OB = b tangenten BT2. Drag en godtycklig linje genom O som skär tangenterna i C och D. Avsätt sträckan OE = OD. Dras PE vinkelrätt mot OE och CP vinkerätt mot PE är P en hyperbelpunkt.

Det kanske enklaste sättet att konstruera en hyperbel när axlarna är givna är att utnyttja Pythagoras sats   enligt bild. Om en av axlarna är imaginär så gäller i stället  .