Cevian

Inom geometrin betecknar en cevian ett linjesegment i en triangel som går från ett av hörnen till den motstående sidan (eller dess förlängning). Exempel på cevianer är bisektriser, höjder och medianer.

En röd cevian i en blå triangel.

Namnet kommer från den italienske ingenjören Giovanni Ceva (1648-1737) som 1678 publicerade det vi idag kallar Cevas sats i De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio.

Längd

Figur 2.

Allmänt kan en cevians längd beräknas enligt Stewarts sats (beteckningar enligt figur 2).

$d={\sqrt {{\frac {mb^{2}+nc^{2}}{a}}-mn}}$

Median

Om cevianen är en median är $m=n={\frac {a}{2}}$, vilket reducerar Stewarts sats till Apollonios sats

$d={\sqrt {{\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}-m^{2}}}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$

Bisektris

Är cevianen en bisektris ges längden av

$d={\sqrt {bc-mn}}$

eller

$d={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {\alpha }{2}}$. med $\alpha =\angle bc$

eller

$d={\frac {2\cdot {\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$, med semiperimetern $s={\frac {a+b+c}{2}}$.

Höjd

Är cevianen en höjd ges dess längd antingen av Pythagoras sats enligt

$\,d={\sqrt {b^{2}-n^{2}}}={\sqrt {c^{2}-m^{2}}}$

eller av

$d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}$, med semiperimetern $s={\frac {a+b+c}{2}}$.

Cevianer med gemensam skärningspunkt

Figur 3. Tre cevianer som skär varandra i punkten O.

För tre cevianer som skär varandra i en gemensam inre punkt gäller allmänt följande samband mellan delningsförhållanden (beteckningar enligt figur 3):

${\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}\cdot {\frac {\vec {BD}}{\vec {DC}}}\cdot {\frac {\vec {CE}}{\vec {EA}}}=1$ (Cevas sats)

${\frac {\vec {AO}}{\vec {OD}}}={\frac {\vec {AE}}{\vec {EC}}}+{\frac {\vec {AF}}{\vec {FB}}}$

${\frac {\vec {OD}}{\vec {AD}}}+{\frac {\vec {OE}}{\vec {BE}}}+{\frac {\vec {OF}}{\vec {CF}}}=1$

${\frac {\vec {AO}}{\vec {AD}}}+{\frac {\vec {BO}}{\vec {BE}}}+{\frac {\vec {CO}}{\vec {CF}}}=2$

De två sista uttrycken är komplementära, eftersom om vi adderar vänsterleden får

${\frac {{\vec {AO}}+{\vec {OD}}}{\vec {AD}}}+{\frac {{\vec {BO}}+{\vec {OE}}}{\vec {BE}}}+{\frac {{\vec {CO}}+{\vec {OF}}}{\vec {CF}}}={\frac {\vec {AD}}{\vec {AD}}}+{\frac {\vec {BE}}{\vec {BE}}}+{\frac {\vec {CF}}{\vec {CF}}}=1+1+1=3$

De tre höjderna skär varandra i triangelns ortocentrum. De tre bisektriserna skär varandra in den inskrivna cirkelns medelpunkt. De tre medianerna skär varandra i (den geometriska) tyngdpunkten. De tre cevianer som delar omkretsen i två lika delar (en sådan cevian kallas "splitter" på engelska) skär varandra i Nagels punkt. De tre symmedianerna skär varandra i symmedianpunkten (även kallad Lemoines punkt eller Grebes punkt).