Barnes G-funktion är en speciell funktion som definieras som
där γ är Eulers konstant. Funktionen är uppkallad efter Ernest William Barnes.
Funktionalekvationer
redigera
Barnes G-funktion satisfierar funktionalekvationerna
-
och
-
Multiplikationsformel
redigera
Barnes G-funktion satisfierar multiplikationsformeln
-
där ges av
-
För gäller Taylorserien
-
där är Riemanns zetafunktion.
Speciella värden
redigera
Asymptotisk expansion
redigera
Logaritmen för Barnes G-funktion har följande asymptotiska expansion:
-
Relation till gammafunktionens integral
redigera
Integralen av gammafunktionens logaritm kan ges med hjälp av Barnes G-funktion:
-
Formeln kan bevisas genom att först ta logaritmen av gammafunktionens och G-funktionens produktrepresentationer:
-
-
-
och med lite förenkling får man
-
-
Slutligen tar man logaritmen av gammafunktionens produktrepresentation och integrerar över :
-
-
Eftersom de två uttrycken är identiska är
-