Barnes G-funktion

matematikterm

Barnes G-funktion är en speciell funktion som definieras som


där γ är Eulers konstant. Funktionen är uppkallad efter Ernest William Barnes.

FunktionalekvationerRedigera

Barnes G-funktion satisfierar funktionalekvationerna

 

och

 

MultiplikationsformelRedigera

Barnes G-funktion satisfierar multiplikationsformeln

 

där   ges av

 

TaylorserieRedigera

För   gäller Taylorserien

 

där   är Riemanns zetafunktion.

Speciella värdenRedigera

 
 
 
 
 

där G är Catalans konstant och A är Glaisher–Kinkelins konstant.

Asymptotisk expansionRedigera

Logaritmen för Barnes G-funktion har följande asymptotiska expansion:

 

Relation till gammafunktionens integralRedigera

Integralen av gammafunktionens logaritm kan ges med hjälp av Barnes G-funktion:

 

Formeln kan bevisas genom att först ta logaritmen av gammafunktionens och G-funktionens produktrepresentationer:

 
 
 

och med lite förenkling får man

 
 

Slutligen tar man logaritmen av gammafunktionens produktrepresentation och integrerar över   :

 
 

Eftersom de två uttrycken är identiska är

 
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.