Weyls lemma (Laplaces ekvation)

Inom matematiken är Weyls lemma, uppkallad efter Hermann Weyl, ett resultat som säger att varje svag lösning av Laplaces ekvation är en glatt lösning. Detta kan jämföras med vågekvationen som har svaga lösningar som inte är glatta.

LemmatRedigera

Låt   vara en öppen delmängd av det  -dimensionella euklidiska rummet  , och låt   beteckna Laplaceoperatorn. Weyls lemma[1] säger att om en lokalt integrerbar funktion   är en svag lösning av Laplaces ekvation i betydelsen

 

för varje glatt testfunktion   med kompakt stöd, så är  (efter korrektion på en nollmängd) glatt, det vill säga  , och uppfyller   punktvis i  .

Av resultatet följer regularitet av harmoniska funktioner över  , men säger inget om deras regularitet vid randen  .

ReferenserRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Weyl's lemma (Laplace equation), 11 juni 2014.

NoterRedigera

  1. ^ Hermann Weyl, The method of orthogonal projections in potential theory, Duke Math. J., 7, 411–444 (1940). See Lemma 2, p. 415

KällorRedigera