En harmonisk funktion är en funktion som uppfyller Laplaces ekvation.

DefinitionRedigera

Låt f : RnR, och låt U vara en öppen delmängd av Rn. f är harmoniskU om f är två gånger kontinuerligt deriverbar på U och

 

i varje punkt i U. Ekvationen ovan kallas Laplaces ekvation och skrivs ofta   eller  

Koppling till analytiska funktionerRedigera

Följande sats visar att real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska.

Sats 1.

Låt f(z) = u(x,y) + iv(x,y) vara analytisk på en öppen mängd U. Då är funktionerna u(x,y) och v(x,y) harmoniska på U.

Bevis.

Eftersom real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion har kontinuerliga partiella andraderivator så gäller att

 

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer får vi

 

vilket visar att v är harmonisk på U. Att även u är det visas analogt.

Genom att använda Cauchy-Riemanns ekvationer kan vi också, givet en harmonisk funktion u(x,y) finna en annan harmonisk funktion v(x,y) sådan att u(x,y) + iv(x,y) är analytisk. v är här ett så kallat harmoniskt konjugat av u.

ExempelRedigera

Exempel på harmoniska funktioner:

 

 

EgenskaperRedigera

MedelvärdesegenskapenRedigera

Låt f: UR vara kontinuerlig på en öppen mängd U   C. Antag att det för varje   i U gäller att

 

för något   Om det gäller att

 

för varje   så är f harmonisk.

Maximum och minimumRedigera

Låt U vara en begränsad enkelt sammanhängande och öppen mängd med rand D. Om f är harmonisk på U och kontinuerlig på U och D så antar f sitt maximum och minimum på D.

Liouvilles satsRedigera

Om f är harmonisk och uppåt eller nedåt begränsad på Rn är f konstant.

KommentarerRedigera

Harmoniska funktioner är mycket viktiga inom matematisk fysik. Exempelvis kan vi låta u(x,y,z) beteckna den elektrostatiska potentialen som orsakas av laddningar i rummet. Då är u harmonisk på de områden i rummet där laddningstätheten är 0. Andra fysikaliska exempel då harmoniska funktioner uppkommer är tvådimensionella vätskeflödesproblem och jämviktstemperaturproblem.

Se ävenRedigera

KällorRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.