Weibullfördelning

Weibullfördelningen är inom matematisk statistik en kontinuerlig sannolikhetsfördelning.

Täthetsfunktionen, frekvensfunktionen, är

$f(x)={\beta \over \alpha ^{\beta }}x^{\beta -1}e^{-(x/\alpha )^{\beta }}$

Den kumulativa fördelningsfunktionen är

$F(x)=1-e^{-(x/\alpha )^{\beta }}$

Fördelningen är definierad endast för $x$ ≥ 0.

Parametrar:

α är en skalningsparameter för x-variabeln

β är en "skevhetsparameter" eller "formparameter".

Ibland inför man en tredje parameter genom substitutionen y = x + γ. Den parametern (lägesparametern) frigör funktionen från begynnelsepunkten x = 0. Den tredje parametern ger även en ökad flexibilitet vid anpassning av funktionen till experimentella data.

För formparametern kan följande specialfall för täthetsfördelningen nämnas:

β ≈ 3 - 3,5: fördelningen är approximativt symmetrisk och påminner om normalfördelningen.

β = 1: täthetsfördelningen är identisk med exponentialfördelningen.

β < 3: fördelningen är skev åt vänster.

β > 3,5: fördelningen är skev åt höger.

β = 2 fördelningen är en Rayleighfördelning.

Weibullfördelningen har stor ingenjörsteknisk användning för studium av livslängd och/eller hållfasthet hos tekniska system, där x är tiden/belastningen, och observerade haverier utgör statistiska observationer av en population tekniska enheter under drift. Exempelvis kullager, vilket var Waloddi Weibulls studieobjekt vid slutet av 1930-talet.

Om en weibullfördelning anpassas till observerade gångtider till driftstopp hos en komponent kan den funna formparametern indikera fysikaliska samband:

β = 1: driftstoppen är exponentialfördelade och inträffar slumpmässigt, vilket kan tolkas som att sannolikheten för stopp är oberoende av den ackumulerade gångtiden.

β < 1: sannolikheten för driftstopp är högst närmaste tiden efter driftsättningen; man talar om inkörningsfel eller "barnsjukdomar".

β ≈ 3: först efter en viss utslitningstid observeras en större serie (ungefär) normalfördelade driftstopp. Den kunskapen kan utnyttjas för att schemalägga förebyggande underhåll.

Används ofta för att beskriva keramiska materials variation i hållfasthet.

Litteratur

• Weibull, Waloddi: A statistical theory of the strength of materials, (1939) Ingeniörsvetenskapsakademien Stockholm, rapport 151, ISSN 0368-069X

Externa länkar

• Weibull articles from Dr. Robert B. Abernethy's library – ett 40-tal Weibull-artiklar i PDF-format.

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.