Kumulativ fördelningsfunktion

Den kumulativa fördelningsfunktionen beskriver en sannolikhetsfördelning för en slumpvariabel inom den matematiska statistiken. För en slumpvariabel X definierad på sannolikhetsrummet $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ definieras den kumulativa fördelningsfunktionen F_X(x) som

Fördelningsfunktionen för en diskret fördelning överst, i mitten för en kontinuerlig fördelning och nederst för en fördelning som är en kombination.

$F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)$.

$F_{X}(x)$ beskriver sannolikheten att X antar ett värde mindre än eller lika med x. Den kumulativa fördelningsfunktionen är monotont växande och högerkontinuerlig. Den har alltid egenskaperna

• $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$

• $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$

• $0\leq F(x)\leq 1$

För en diskret slumpvariabel som kan anta värdena x₁, x₂... är F diskontinuerlig i punkterna x_i och har konstant värde däremellan, det vill säga, den har ett trappstegsliknande utseende.

För en kontinuerlig slumpvariabel är F en kontinuerlig funktion. Om F dessutom är absolutkontinuerlig så gäller

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt$

där f(t) är täthetsfunktionen (eller frekvensfunktionen) för variabelns fördelning.

Sannolikheten för att en slumpvariabel ska anta värden större än a och mindre eller lika med b kan beräknas med:

$\Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Tabell över värdena hos den kumulativa normalfördelningsfunktionen finns att läsa här. Andra fördelningar har andra tabeller.

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Kumulativ fördelningsfunktion.
  Bilder & media