Öppna huvudmenyn

Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.

Värmeledningsekvationen kan skrivas

där betecknar förändringshastigheten hos funktionen med avseende på tiden, och betecknar laplaceoperatorn.

Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum[förtydliga]. Funktionen betecknar då temperaturen i mediet och är materialets termiska diffusivitet.

Den endimensionella värmeledningsekvationenRedigera

Det homogena falletRedigera

Låt funktionen   beteckna värmen i punkten   vid tidpunkten  . Vi kan då beskriva   med hjälp av värmeledningsekvationen:

 

En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd   som ligger längs x-axeln. Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven.

Normal praxis är att också införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges av

 

vi låter värmen i stavens ändpunkter   och   ges av funktionerna   och  . Randvillkoren brukar de vara av typen Dirichletvillkor som kan beskrivas enligt

 
 

men givetvis finns det andra villkor kan införa t.ex. Neumannvillkor.

Det inhomogena falletRedigera

Vi studerar nu samma system som ovan men nu skulle vi vilja tillföra värme till staven. Låt funktionen   betecknar den tillförda värmen till staven i punkten   vid tidpunkten  . Funktionen u(x,y) beskrivs då av:

 

Den n-dimensionella värmeledningsekvationenRedigera

För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det   oberoende variabler nämligen   och tiden   och en beroende variabel   som lyder under ekvationen

 

Lösningar till värmeledningsekvationenRedigera

För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till   är på formen  .

Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut

 .

Varken höger- eller vänsterledet är beroende av   eller   därför måste de vara lika med någon konstant  :

  och  

Som vi kan skriva om som

  resp.  

Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till differentialekvationerna med dirchletvillkoren  . Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en en stav till  

  kommer att få tre olika typer av lösningar beroende på värden av  :

(1) För   d.v.s.   ges lösningarna av

 :
Randvillkoren ger oss då:
 
 

Alltså existerar inga negativa egenvärden.

(2) För   ges lösningarna av.

 
Randvillkoren ger oss då:
 
 

Den enda lösningen vi får är   och enligt definitionen av en egenfunktion är därför   inte ett egenvärde.

(3) För   d.v.s.   ges lösningarna av:
 

Randvillkoren ger då

 
  där  Z+

Vi har nu de positiva egenvärdena

 

med de tillhörande egenfunktionerna

 

Vi har tagit fram att   så vad gäller lösningar till   ser vi att de ges av  

Med detta får vi nu till slut lösningarna

 

ReferenserRedigera

Se ävenRedigera