Dimensionssatsen

Dimensionssatsen är en sats inom linjär algebra om det samband som finns mellan nollrummet och värderummet till en linjär avbildning och dess dimensioner:

Om $\mathbb {U}$ och $\mathbb {V}$ är två vektorrum och $F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V}$ är en linjär avbildning så gäller:

$\dim N(F)+\dim V(F)=\dim \mathbb {U}$

Bevis

Antag att $\dim \mathbb {U} =n$, låt ${\bar {u}}_{1},...,{\bar {u}}_{k}$ vara en bas för $N(F)$ och fyll ut med ${\bar {u}}_{k+1},...,{\bar {u}}_{n}$ till en bas för $\mathbb {U}$.

• Om $\dim N(F)=\dim \mathbb {U} =n\Leftrightarrow k=n$ är $V(F)=\{0\}$ ty det enda som nås av $F$ är nollvektorn och $\dim N(F)+\dim V(F)=n+0=n=\dim \mathbb {U}$ och satsen stämmer.

• Om $1\leq \dim N(F)=k<n$ gäller som vanligt att $V(F)=\left[F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]$ men då $F({\bar {u}}_{1})=...=F({\bar {u}}_{k})=0$ innebär det att $V(F)=\left[F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]$ där $F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})$ måste vara linjärt oberoende ty $\lambda _{k+1}F({\bar {u}}_{k+1})+...+\lambda _{n}F({\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow F(\lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow \lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0\Leftrightarrow \lambda _{k+1}=...=\lambda _{n}=0$ ty $\lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}\in N(F)$ omm $\lambda _{k+1}{\bar {u}}_{k+1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0$ och ${\bar {u}}_{k+1},...,{\bar {u}}_{n}$ är alla $\not =0$ då de är basvektorer i $\mathbb {U}$ och således linjärt oberoende. Alltså utgör $F({\bar {u}}_{k+1}),...,F({\bar {u}}_{n})$ en bas för $V(F)$ och $\dim N(F)+\dim V(F)=k+(n-k)=n=\dim \mathbb {U}$ och satsen stämmer.

• Om $\dim N(F)=0\Leftrightarrow k=0$ gäller som vanligt att $V(F)=\left[F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})\right]$ där $F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})$ måste vara linjärt oberoende ty $\lambda _{1}F({\bar {u}}_{1})+...+\lambda _{n}F({\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow F(\lambda _{1}{\bar {u}}_{1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n})=0\Leftrightarrow \lambda _{1}{\bar {u}}_{1}+...+\lambda _{n}{\bar {u}}_{n}=0\Leftrightarrow \lambda _{1}=...=\lambda _{n}=0$ ty $N(F)=\{0\}$ och ${\bar {u}}_{1},...,{\bar {u}}_{n}$ är alla $\not =0$ då de är basvektorer i $\mathbb {U}$ och således linjärt oberoende. Alltså utgör $F({\bar {u}}_{1}),...,F({\bar {u}}_{n})$ en bas för $V(F)$ och $\dim N(F)+\dim V(F)=0+n=n=\dim \mathbb {U}$ och satsen stämmer.

Således har vi nu visat att satsen stämmer i samtliga tre fall.

Se även

• Värderum
• Nollrum

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings universitet