Gausselimination eller radreduktion, är inom linjär algebra en effektiv algoritm för lösning av linjära ekvationssystem, finna matrisrangen för en matris eller för att beräkna inversen till en matris. Namnet kommer från den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Gausselimination är lämplig att använda för lösning av ekvationssystem på formen

där A är en kvadratisk matris och x och b är kolonnvektorer.

Elimineringen sker genom att med elementära radoperationer nollställa elementen under diagonalen i varje kolonn.

Översikt av metodenRedigera

Ett linjärt ekvationssystem

 

med n ekvationer och n obekanta

 

och högerledet

 

har formen

 

Ekvationslösningen omfattar två steg. Först nollställs elementen under diagonalen i matris A. Därefter beräknas de obekanta genom till exempel bakåtsubstituering.

Gausseliminering innebär division med diagonalens element, pivotelementen, som därmed måste vara nollskilda och helst ej vara nära noll. Det är därför vanligt att med till exempel radomkastning placera det tal i diagonalen som har det största absolutbeloppet i den kolonn som skall nollställas räknat från och med diagonalelementet. Om inget nollskilt element kan hittas avbryts elimineringen då lösningar till ekvationssystemet saknas.

Nedanstående ger ett exempel på en teknik med radomkastning för att undvika division med tal lika med eller nära noll.

Steg 1: Triangulering

Antag att elementen under diagonalen i kolumn k skall nollställas.

 

Först söks bland elementen

 

det element, pivotelementet, som har det största absolutbeloppet. Om pivotelementets radnummer är skilt från k, kastas rad k och pivotelementets rad om.

Därefter multipliceras en kopia av varje nollskilt element i diagonalens rad med multiplikatorn

 

där a(k, k) är diagonalens element och a(j, k) med j > k är det element i kolonnen som skall nollställas och respektive produkt subtraheras från motsvarande element i den rad där nollställning skall ske.

Detta upprepas för de återstående kolonnelementen.

Steg 2: Bakåtsubstitution

När matrisen är triangulerad utförs bakåtsubstitueringen med början i den sista raden

 

där xn beräknas som

 

Värdet av xn sätts därefter in i föregående rad och xn-1 beräknas som

 

Detta upprepas tills alla xj beräknats.

ExempelRedigera

Lös ekvationssystemet

 

Nollställning i kolumn 1 av rad 2 och 3. Rad 3 är pivotraden och rad 1 och rad 3 kastas om:

 

Nollställning i kolumn 2 av rad 3. Rad 3 är pivotraden och rad 2 och rad 3 kastas om:

 

Bakåtsubstituering:

 
 
 

Gauss-Jordan-eliminationRedigera

Efter Gausselimination erhålls en övertriangulär matris som med liknande teknik som vid Gausselimination kan överföras till en diagonalmatris vilket kallas Gauss-Jordan-elimination.

 

Tillämpning av Gauss-Jordan för beräkning av inversRedigera

Om Gauss-Jordan-elimination tillämpas på en kvadratisk matris, kan den användas för att beräkna matrisens invers. Detta kan göras genom att till höger lägga till en enhetsmatris av samma dimensioner som matrisen. Exempel:

Låt matrisen A vara

 

och bilda genom tillägg av enhetsmatrisen

 

Genom elementära radoperationer kan A överföras till en diagonalmatris:

 

Matrisens invers är den högra halvan av  :

 

KällorRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.