Öppna huvudmenyn

Innehåll

Lagrangemultiplikator är ett begrepp i matematisk analys som kan användas om man vill hitta alla extrempunkter för funktionen f(x, y) när den begränsas av ett bivillkor g(x, y) = 0. Metoden är namngiven efter Joseph Louis Lagrange och baseras på följande teorem.

Antag att två funktioner f(x,y) samt g(x,y) har kontinuerliga förstaderivator i punkten P0 = (x0, y0) på kurvan C med ekvationen g(x, y) = 0. Antag också att när f(x, y) begränsas av punkter på C så har funktionen alltid ett lokalt maximum eller minimum i P0.

Antag även att: P0 är inte en slutpunkt på C och att .

Då finns ett tal, λ0, sådant att (x0, y0) är en stationär punkt för Lagrangefunktionen

där λ är en Lagrangemultiplikator.

BevisRedigera

De båda första antagandena tillsammans antyder att C är tillräckligt jämn för att ha en tangent igenom P0 och att  är en normal till tangenten. Om   inte är parallell med   så har   en projicerad vektor, v, som inte är en nollvektor längs tangenten till C i P0. Det innebär att f har en positiv riktningsderivata i P0 i vs riktning och en negativ riktningsderivata i motsatt riktning till v. Därmed ökar f om den rör sig bort från P0 i riktningen v och minskar i riktningen -v, vilket i sin tur innebär att f inte kan ha ett lokalt maximum eller minimum i P0. Det innebär att   måste vara parallell med   och eftersom   så måste det finnas ett tal, λ0, sådant att

 

Båda komponenterna i ovanstående vektor försäkrar oss om att   och att   i (x0, y0, λ0).

Den tredje ekvationen som måste satisfieras av en stationär punkt på L är   Den satisfieras i punkten (x0, y0, λ0) därför att P0 ligger på C. Då fås att (x0, y0, λ0) är en stationär punkt till
L(x, y, λ).

ExempelRedigera

Maximera f(x, y) = x3y5 under bivillkoret g(x, y) = x + y - 8.

LösningRedigera

Vi börjar med att ställa upp Lagrangefunktionen

 

Vi tar sedan fram alla partiella derivator och sätter dem lika med noll i ett ekvationssystem

 

A - B ger D nedan:

 

Detta ger x = 3 och y = 5.

Det sökta värdet ges av f(3, 5) = 84375.

Se ävenRedigera

KällorRedigera

Calculus, A Complete Course 4th Edition av Robert A. Adams