Öppna huvudmenyn
Brownsk rörelse är en stokastisk process

En stokastisk process är den matematiska beskrivningen av en tidsordnad slumpprocess. Teorin för stokastiska processer har inneburit en betydande utvidgning av sannolikhetsteorin och är grunden för den stokastiska analysen.

Processer som kan beskrivas av en stokastisk process är exempelvis antalet bilar som passerar en viss punkt på motorvägen, antalet kunder i en affär vid en viss tidpunkt, och tillförlitligheten av ett system som består av komponenter.

DefinitionRedigera

Givet

  • ett sannolikhetsrum  ,
  • en fullständigt ordnad parameter- eller indexmängd   som kallas för tid, och
  • ett mätbart tillståndsrum  

så är en stokastisk process en funktion   vilken är  -mätbar för varje  

Vanligtvis utelämnas beroendet av   och man skriver   för att beteckna den stokastiska processen. Vid användandet av den här beteckningen förstår man varför den stokastiska processen även definieras som en familj av stokastiska variabler.

Parametermängden   kallas även indexmängd, eftersom det för varje   finns en stokastisk variabel. Beroende på om parametermängden är diskret eller kontinuerlig kommer den stokastiska processen kallas för detsamma. Enligt konvention så är parametermängden alltid oändlig.

För ett visst utfall   så är   en funktion som antar värden i   och den betraktas som realisering av den stokastiska processen.

Naturlig filtreringRedigera

En filtrering över ett sannolikhetsrum   är en ordnad familj σ-algebror     där   d.ä.   är grövre än   närhelst   En stokastisk process naturliga filtrering är den familj σ-algebror som är tillbakadragna genom urbilderna under processen X av de där σ-algebror som är genererade av cylindermängderna; d.v.s. den naturliga filtrering är   där

 

Den naturliga filtreringen blir finare och finare som tiden t ökas, därför att fler och fler händelser blir utskiljbara—eller mätbara—under denna filtrering precis som processen utvecklas med tid.

ExempelRedigera

EgenskaperRedigera

Sannolikhetsfördelningen för en reellvärd stokastisk variabel är ett sannolikhetsmått   på Borel sigma-algebran på mängden av de reella talen  :

 

De ändligt-dimensionella fördelningarna för en reellvärd stokastisk process är mängden   av alla tänkbara flerdimensionella sannolikhetsfördelningar associerade med den stokastiska processen:

 

där index   och mängderna   för varje val av heltalet  

Associerade med en stokastisk process är dess väntevärdesfunktion

 

och dess kovariansfunktion

 

Dessa är definierade av följande integraler med avseende på sannolikhetsmåttet  .

 

och

 ,

där väntevärdet   beräknas på produktrummet  

 

Om det råkar vara så att de ändligt-dimensionella fördelningarna för den stokastiska processen X är absolutkontinuerliga med avseende på Lebesgue-måttet, så kan ovanstående väntevärden skrivas som

 

och

 

där funktionen   är Radon-Nikodym derivatan av sannolikhetsfördelningen för den stokastiska variabeln   med avseende på Lebesgue-måttet på  

 

Denna derivata kallas inom sannolikhetsteori och statistik för den stokastiska variabelns täthetsfunktion. På motsvarande sätt är funktionen   Radon-Nikodym derivatan

 

av sannolikhetsfördelningen för den två-dimensionella stokastiska variabeln   med avseende på Lebesgue-måttet i planet  

Stokastiska processer är vanligt förekommande inom såväl teknik som ekonomisk och finansiell teori.

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.

ReferenserRedigera