Öppna huvudmenyn

DefinitionRedigera

Låt   vara en icke-tom mängd och   en sigma-algebra i  . En funktion   är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran   om den besitter de två egenskaperna:

  • Funktionen   är ett mått
  •  

Ett sannolikhetsrum är en trippel  .   är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd,  , på ett reellt tal,   (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

TillämpningarRedigera

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrumRedigera

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

 

där   och sannolikhetsmåttet är  ,

 

där   är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrumRedigera

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om   är ett måttrum där   kan man definiera ett sannolikhetsmått  ,

 

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet   är en trippel  .

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om  ,   och   (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

SannolikhetsfördelningrumRedigera

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt   vara ett sannolikhetsrum och   en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

 

där

 

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är  :s bildmått   med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

FörteckningarRedigera

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabelRedigera

Huvudartikel: Stokastisk variabel

Stokastik variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt   vara ett sannolikhetsrum. En funktion   är en stokastisk variabel om

  för alla Borelmängder  

Detta innebär att en funktion   är  -mätbara.

VäntevärdeRedigera

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastik variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt   vara ett sannolikhetsrum. Om   är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

 .

Här är   en måttintegral med avseende på måttet  .

Varians och kovariansRedigera

Huvudartiklar: Varians och Kovarians

Man kan definiera en varians och en konvarians med väntevärde.

Variansen för ett stokastisk variabel  , med  , är talet

 ,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler   är ett tal

 .

KonvergenssatserRedigera

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

  • Om   är händelser så är
 .
  • Om   är händelser så är
 .

Fatous lemma: om   är stokastiska variabler får man att

 

Monotona konvergenssatsen: om   är stokastiska variabler med   finns det   och

 

Dominerade konvergenssatsen: om   och   är stokastiska variabler med   för alla   och   finns det   och

 

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.