Standardavvikelse
Standardavvikelse eller standarddeviation är ett statistiskt mått på hur mycket de olika värdena för en population avviker från medelvärdet. Om de olika värdena ligger samlade nära medelvärdet blir standardavvikelsen låg, medan värden som är spridda långt över och under medelvärdet bidrar till en hög standardavvikelse. Standardavvikelser används inom statistik, forskning och matematisk statistik.
Definitioner
redigeraLåt X vara en stokastisk variabel med medelvärdet μ enligt
där operatorn E betecknar medelvärdet eller väntevärdet av X. Då är standardavvikelsen av X
Variansen för X definieras som
och således är standardavvikelsen σ (sigma) kvadratroten ur variansen för X, det vill säga är kvadratroten ur medelvärdet av (X − μ)2.
En fördel med kvadratrotsbildningen är att standardavvikelsen fås i samma enhet som mätvärdena.
Diskret slumpvariabel
redigeraOm X består av slumpvisa värden x1, x2, ..., xN, med likformig sannolikhetsfördelning, är standardavvikelsen för dessa
där
eller, med annan notation
Detta är korrekt om de N värdena utgör hela populationen. Om däremot värdena är en delmängd av en större population och används som estimat av den större populationen är stickprovets standardavvikelse
ett bättre estimat (Bessels korrektion) eftersom den då blir väntevärdesriktig.[1][2]
Om sannolikhetsfördelningen inte är likformig, antag att xk har sannolikheten pk och standardavvikelsen kan i detta fall skrivas
Kontinuerlig slumpvariabel
redigeraStandardavvikelsen för en kontinuerlig stokastisk variabel X med täthetsfunktionen p(x) är
med
där integralerna är begränsade och där x antar alla värden som är möjliga för den stokastiska variabeln X.
Exempel
redigeraAntag att en population utgörs av
De åtta datapunkterna har medelvärdet
Först beräknas skillnaden för varje datapunkt och medelvärdet och sedan kvadreras resultaten:
Variansen är medelvärdet av dessa värden:
och populationens standardavvikelse är lika med variansens kvadratrot:
Se även
redigeraReferenser
redigeraNoter
redigera- ^ Weisstein, Eric W., "Bessel's Correction", MathWorld. (engelska)
- ^ Gunnar Blom, Jan Enger, Gunnar Englund, Jan Grandell, Lars Holst (2017). Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar (7:1). sid. 228. ISBN 978-91-44-12356-1
Externa länkar
redigera- Persson, Clas-Göran (26 augusti 2009). ”Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM)” (PDF). Lantmäteriet. http://www.lantmateriet.se/upload/filer/kartor/HMK/nyaHMK/pdf/Kvalitet/GUM_Nya_HMK.pdf. Läst 5 februari 2010. En sammanfattning av ISO/IEC Guide 98-3:2008 ”Uncertainty of Measurement -- Part 3: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM:1995)” i lantmäterisammanhang.
- Wikimedia Commons har media som rör Standardavvikelse.