Euklides algoritm är en algoritm för att bestämma största gemensamma delare till två heltal[1]. Det är en av de äldsta kända algoritmerna och beskrivs i Euklides Elementa.[2] Algoritmen kräver inte att man kan dela upp talen i faktorer.

Algoritmen kan beskrivas på följande sätt:[1]

  1. Två heltal a och b, där a > b är givna.
  2. Om b = 0 är algoritmen klar och svaret är a.
  3. I annat fall beräknas c, resten när man delat a med b.
  4. sätt a = b, b = c och börja om från steg 2 igen, (a får det värde b har och b får det värde c har).

Exempel 1

redigera

Finn den största gemensamma delaren till 1071 och 1029.

 

Den största gemensamma delaren är alltså 21.

Kortare skrivet:

1071 = 1 · 1029 + 42
1029 = 24 · 42 + 21
42 = 2 · 21 + 0, så svaret är 21.

En snabb kontroll bekräftar att 1071 = 51 · 21 och 1029 = 49 · 21.

En följd av Euklides algoritm är Bézouts identitet, som säger att den största gemensamma delaren till två tal a,b kan skrivas som en linjärkombination av talen ax+by (x,y heltal). Genom att lösa ut resterna och köra algoritmen baklänges bestämmer man x och y. I exemplet ovan:

 
 
 

Detta kan användas vid lösning av den diofantiska ekvationen ax + by = c.

Exempel 2

redigera

Nedan följer en alternativ metod som fungerar lika bra som ovan. Med funktionen frac menas decimaldelen av talet. Om   så är   och om  , så är decimaldelen noll, det vill säga  .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Bevis för Euklides algoritm

redigera

Euklides använde sig av ett så kallat motsägelsebevis. Han utgick från att det finns ett tal c som delar b och r, men inte a. Och att divisionen   blir  

 
 
 
 

Då måste alltså alla tal som delar r och b dela a

 

sgd(a, b)=sgd(b, r)

Generalisering av Euklides algoritm

redigera

Euklides algoritm kan utvidgas till att operera på andra ringar än heltalen, som ovan. Ringar i vilka Euklides algoritm kan användas kallas Euklidiska ringar. Exempel på Euklidiska ringar är de Gaussiska heltalen och vissa polynomringar.

Referenser

redigera
  1. ^ [a b] ”Euklides algoritm”. Nationalencyklopedin. http://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/euklides-algoritm. Läst 3 september 2016. 
  2. ^ För rationella tal i bok VII, för reella tal i bok X. Se Weisstein, Eric W., "Euclidean Algorithm", MathWorld. (engelska)

Externa länkar

redigera