Skattningsfunktion

Inom matematisk statistik anger termen skattningsfunktion gradienten (vektorn av partiella derivator) av logaritmen av likelihood-funktionen.

Formellt sett, för en observation $X$ med likelihood-funktionen $L(\theta ;X)$, ges skattningen $V$ av:

$V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.$

$V$ är en funktion av $\theta$ (de parametrar som ska uppskattas) och X (observationerna).

Egenskaper

Medelvärde

Under vissa förhållanden är väntevärdet av $V$ vid observationen x noll, givet $\theta$ ($\mathbb {E} (V|\theta )$), lika med noll .

Om man skriver om likelihood-funktionen som en täthetsfunktion (L (θ, x) = f (x, θ)) får man att

$\mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx$

som, under vissa förhållanden, kan förenklas till:

$\mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.$

Varians

Variansen av skattningen kallas för Fisherinformationen, betecknat ${\mathcal {I}}(\theta )$. Eftersom väntevärdet av skattningen är noll, ges variansen av skattningen av:

${\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.$

Se även

• Ronald Fisher

Noter och referenser

• Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
• Schervish, Mark J. (1995). Theory of Statistics. New York: Springer. sid. Section 2.3.1. ISBN 0387945466