Satsen om total sannolikhet

Satsen (alternativt lagen) om total sannolikhet är en fundamental sats inom sannolikhetsteorin. Satsen relaterar sannolikheter för enskilda händelser till betingade sannolikheter. Den uttrycker den totala sannolikheten för en händelse relaterat till den betingade sannolikheten för en mängd av händelser som utgör hela utfallsrummet.

Utfallsrummet är uppdelat i $A_{1},\ldots ,A_{n}$, medan vi är intresserade av $B$.

Satsen om total sannolikhet kan formellt beskrivas på följande sätt.

Antag att $A_{1},\ldots ,A_{n},$ är $n$ parvist disjunkta händelser, med $P(A_{i})>0$ för $i=1,\ldots ,n.$ Om dessa händelser utgör hela utfallsrummet, $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega$, då gäller att en händelse $B\subseteq \Omega$ har sannolikheten

$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$

Bevis

Enligt förutsättningarna har vi $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega$, vilket medför $B=\bigcup _{i=1}^{n}(B\cap A_{i})$. Under villkoret $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ för $i\neq j\quad i,j=1,\ldots ,n$ gäller att mängderna $B\cap A_{i}$ är oförenliga. Med axiom 3 i Kolmogorovs axiomsystem, och definitionen av betingad sannolikhet, får vi

$P(B)=P{\Big (}\bigcup _{i=1}^{n}(B\cap A_{i}){\Big )}=\sum _{i=1}^{n}P(B\cap A_{i})=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$

Källor

• Stokastik av Sven Erick Alm, Tom Britton, 2011, sida 29.

Se även

• Axiom
• Matematiskt bevis
• Bayes sats

Externa länkar

• Total Probability Theorem, Wolfram MathWorld.