Öppna huvudmenyn

Kolmogorovs tre axiomRedigera

En reell funktion   på händelser i utfallsrummet   är en sannolikhetsfunktion om den uppfyller de tre nedanstående axiomen. En funktion som inte uppfyller dessa axiom är inte en sannolikhetsfunktion.

Första axiometRedigera

Icke-negativitet

För en godtycklig händelse   gäller  .

Andra axiometRedigera

Normalisering

För utfallsrummet   gäller  .

Tredje axiometRedigera

Ändlig additivitet

Om utfallsrummet är ändligt och om   så är

 .


Uppräknelig additivitet

Om utfallsrummet är oändligt så gäller för en oändlig följd av händelser   om   för alla  , att

 .

FöljdsatserRedigera

MonotonitetRedigera

Om   gäller att  .

BevisRedigera

  kan skrivas som   (A eller (B men inte A)). Det är enkelt att se att dessa två mängder är disjunkta och enligt Kolmogorovs tredje axiom får vi

 

Högerledet består, enligt Kolmogorovs första axiom, av två positiva sannolikheter. Det är då tydligt att  .

Det numeriska intervalletRedigera

För en händelse   gäller  

BevisRedigera

Med monotonitetsegenskapen ovan får vi direkt   och tillsammans med Kolmogorovs första axiom följer påståendet.

KomplementsannolikhetenRedigera

Sannolikheten för komplementhändelsen   till   är

 

BevisRedigera

Antag att  , då gäller att komplementhändelsen  . Ett godtyckligt element ur   tillhör antingen   eller  , det vill säga

 .

Detta medför att

 

Vi behöver nu bara konstatera att om ett element tillhör   tillhör det inte  , vilket är innebörden av komplementhändelse. Mer formellt har vi

 

som leder till den logiska slutsatsen att

 .

Kolmogorovs tredje axiom ger då

 

Sannolikhetsteorins additionslagRedigera

 
En händelse e som tillhör A ∩ B räknas två gånger i summan
P(A) + P(B) och i additionslagen kompenseras detta med termen
-P(A ∩ B)

För två händelser   och   gäller

 

BevisRedigera

Notera att mängden   kan skrivas som  . Detta inses enklast genom att tillämpa välkända mängdteoretiska räkneregler:

 

  och   är disjunkta händelser gäller att   och   är disjunkta händelser. Vi har alltså, från Kolmogorovs tredje axiom, att

 

Genom att på liknande sätt skriva

 

och använda Kolmogorovs tredje axiom igen har vi

 
 

Om uttrycket   från (2) sätts in i (1) erhålls

 

Sannolikheten för den tomma mängdenRedigera

 

BevisRedigera

 .

Enligt Kolmogorovs tredje axiom har vi

 

Klassisk sannolikhetsdefinitionRedigera

För ett slumpexperiment med ändligt utfallsrum   och likformig sannolikhetsfördelning gäller för en händelse   att

 

BevisRedigera

Antag att   består av   händelser  .

Enligt Kolmogorovs andra och tredje axiom gäller

 

Enligt antagandet om likformig sannolikhetsfördelning är alla händelser   där   lika sannolika, vilket ger

 

Därmed kan   beräknas:

 

ExempelRedigera

Problem om komplementsannolikhetRedigera

Sannolikheten att ett äpple faller på Isaac Newtons huvud uppskattas av honom själv till 0.0003. Vad är sannolikheten att äpplet inte faller?

För att lösa uppgiften genom att använda Kolmogorovs axiomsystem måste vi införa lämpliga beteckningar. Beteckna händelsen att äpplet faller på Isaac Newtons huvud med A. P(A) betyder då sannolikheten att äpplet faller på Newtons huvud. Enligt uppgiften är P(A) = 0.0003. Händelsen att äpplet inte faller kan betecknas  . Med hjälp av Kolmogorovs axiomsystem får vi sannolikheten att äpplet inte faller till

 .

Vad som inte är tydligt i lösningen av problemet är utfallsrummet  . I typuppgifter som denna brukar man helt enkelt betrakta   som  .

Problem om sannolikhetsteorins additionslagRedigera

Sannolikheten för att antingen den ena eller den andra händelsen inträffar är 0.5, sannolikheten att den ena inträffar är 0.1 och sannolikheten att den andra inträffar är 0.2. Vad är sannolikheten att båda inträffar?

Beteckna den ena händelsen som   och den andra som  . Från uppgiften har vi

 

Enligt Kolmogorovs axiomsystem (sannolikhetsteorins additionslag) gäller alltid att

 

Vi sätter in de kända talen för att lösa ut det okända:

 

Men enligt Kolmogorovs första axiom måste sannolikheten för en händelse vara större än noll. Alltså kan inte problemet lösas.

Problem om klassisk sannolikhetsdefinitionRedigera

Åtta torn placeras slumpmässigt på ett schackbräde. Vad är sannolikheten att inget torn kan slå ett annat?

Låt   beteckna händelsen att inget av de åtta tornen kan slå ett annat. Lösningen erhålls genom att beräkna   och   och sedan tillämpa den klassiska sannolikhetsdefinitionen.

Utfallsrummet är de sätt som åtta torn kan placeras på ett schackbräde. Det första tornet kan placeras på 8⋅8 = 64 sätt, det andra på 64 - 1, det tredje på 64 - 2 sätt och så vidare till det åttonde tornet vilket kan placeras på 64 - 7 = 57 sätt. Enligt multiplikationsprincipen är därmed

 

För att beräkna   noterar vi att första tornet kan placeras på 8⋅8 platser. När det andra tornet skall placeras är den rad och kolumn där det första tornet är placerat upptagna. De möjliga rutorna att placera det andra tornet på kan bilda ett bräde med 7 rader och 7 kolumner vilket ger 7⋅7 möjligheter. Nästa torn kan placeras på 6⋅6 sätt och så vidare till det åttonde tornet vilket kan placeras på 1⋅1 sätt. Enligt multiplikationsprincipen är då

 

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen kan nu användas för att beräkna den sökta sannolikheten:

 

Således är sannolikheten att inget av de åtta tornen kan slå ett annat ungefär 9 på miljonen.

ReferenserRedigera

  • Stokastik av Sven Erick Alm, Tom Britton, 20011, sida 10.

Externa länkarRedigera

Se ävenRedigera

  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.