Öppna huvudmenyn

Riemannintegral, skapad av Bernhard Riemann, var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler. Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen, som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.

Formell definitionRedigera

 
Kolonnapproximation med Riemannsummor för Riemannintegralen.

Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner   med en "kolonnapproximation". Först delas   upp i mindre intervall och sedan väljs en punkt från varje intervall. Då fås en kolonn med intervallets bredd   och funktionen  :s värde i den utvalda punkten som höjd. En riemannsumma är summan av kolonnernas area. Riemannsummorna approximerar arean under en funktionskurva och riemannintegralen definieras som ett gränsvärde av riemannsummor.

Mer precist, partionera  , så att ett antal mindre intervall bildas enligt

 ,  ,

och välj en punkt  . Då definierar paret

 

en kolonn vars area är

 

där   är längden av intervallet:

 .

En  -riemannsumma för  ,   definieras som talet

 ,

det vill säga som summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen   är talet

 

det vill säga, bästa approximationen för arean under  :s funktionskurva.

Riemannintegralen i Redigera

Riemann definierade endast riemannintegralen i   men metoden kan generaliseras till   med samma kolonnapproximation. Låt

 

vara ett  -rätblock i   och   vara en begränsad funktion. Först partioneras   i  -rätblock

 ,  

och sedan väljs  . Då definierar paret

 

en  -dimensionell kolonn vars mått är

 

där   är  -dimensionella volymen för rätblocket:

 

En  -riemannsumma för  ,   definieras som talet

 ,

det vill säga, som summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion   är talet

 

det vill säga, bästa approximationen för  -dimensionella måttet under  :s funktionskurva.

Se ävenRedigera