Öppna huvudmenyn

En polynomring är inom matematik en ring konstruerad från en annan ring som kan ses som mängden av alla polynom i ett fixt antal variabler med koefficienter i den ursprungliga ringen.

Innehåll

Polynomringar i en variabelRedigera

Ett polynom i en variabel x med koefficienter i en ring R är ett uttryck på formen:

 

där   är element i R. Med graden av p avses det största k sådant att   har en nollskild koefficient.

Polynomringen över R, betecknad   mängden av alla polynom med koefficienter i R.   är då en ring med operatorerna addition och multiplikation definierade enligt:

 
 

EgenskaperRedigera

PolynomdivisionRedigera

Om d är ett element i   vars ledande koefficient är en enhet i R (ett inverterbart element) så finns för alla p i   unika element k och r i   sådana att k:s grad är strikt mindre än r:s grad och

 

Speciellt, om K är en kropp gäller ovan för alla element d i  .

Polynomringar i flera variablerRedigera

Ett polynom i flera variabler   med koefficienter i en ring R definieras analogt med polynom i en variabel, men notationen är omständligare. Vanligtvis definieras ett multiindex   som är en n-tippel av heltal   och man skriver:

 

och produkten   kallas för ett monom av multigrad  . Ett polynom över R definieras då som en linjärkombination av monom med koefficienter i R:

 

Med graden av ett monom   avses:

 

En polynomring i n variabler över R,   är alla polynom med n variabler, dessa kan konstrueras genom att skapa polynomringar av polynomringar, exempelvis är   isomorf med  .

EgenskaperRedigera

Låt   där R är en ring. Då gäller:

GeneraliseringarRedigera

Polynomringar kan generaliseras på flera olika sätt.

Generaliserade exponenterRedigera

I en polynomring är exponenterna på variablerna heltal, men den avgörande egenskapen för att strukturen ska bli en ring är sambandet

 

Dvs, att man kan lägga ihop exponenter, en operation som är associativ. En struktur med en binär operator som är associativ kallas för en monoid. Mängden av funktioner med nollskilda värden för endast ändligt många element från en monoid M till en ring R bildar en så kallad monoidring,  . En polynomring i n variabler över R är en monoidring  , där   är monoiden n-tipplar av naturliga tal med addition som binär operator. Man kan utgå från definitionen av en monoidring och konstruera begreppet polynomring som ett specialfall. Andra val av monoider än   ger andra typer av monoidringar.

Formella potensserierRedigera

Istället för polynom kan man använda formella potensserier som sina ringelement, då man kan ha oändligt många nollskilda koefficienter. Addition sker komponentvis och multiplikation genom Cauchyprodukten.

ReferenserRedigera