Inom matematik är det slutna höljet till en mängd M mängden av alla punkter som, intuitivt uttryckt, ligger "nära" M.

DefinitionRedigera

Låt M vara en mängd och låt L vara mängden av alla M:s randpunkter. Då definieras det slutna höljet av M som unionen av M och L:

 

Detta kan även uttryckas som att slutna höljet till M är M med sin rand:

 

EgenskaperRedigera

Det slutna höljet har följande egenskaper:

 .
  är den minsta slutna mängden som innehåller M.
  är snittet av alla slutna mängder som innehåller hela M.
  är sluten om och endast om  .
Om   så följer att  .

Ibland används den andra eller den tredje egenskapen som definitionen av det slutna höljet.

ExempelRedigera

  • I alla rum X så är det slutna höljet av den tomma mängden den tomma mängden och  .
  • Det slutna höljet till det öppna intervallet   är det slutna intervallet  .
  • Det slutna höljet till de rationella talen är de reella talen, man säger att de rationella talen är en tät delmängd till de reella talen.
  • I komplexa talplanet är det slutna höljet av   (den öppna skivan) lika med   (den slutna skivan).

Slutet hölje som operatorRedigera

I ett rum X, låt M vara en mängd,   det slutna höljet till M och   det inre till M. Följande samband kopplar ihop det slutna höljet med det inre:

  •  
  •  

Där   är komplementet till M i X. Kan även utläsas X (mängd)minus M.