Jordans lemma

Jordans lemma är ett resultat inom komplex analys som ofta används vid beräkning av kurvintegraler. Lemmat är uppkallat efter matematikern Camille Jordan.

Halvcirkeln C i komplexa planet uppdelad i C₁ och C₂.

Det finns flera olika varianter av Jordans lemma, men en av dessa kan användas för att visa flera andra: Om C₁ är övre halvcirkeln med radien R, gäller att

$\left|\int _{C_{1}}e^{iz}dz\right|<\pi$

Med hjälp av detta kan man visa att om $g(z)\,$ är en funktion sådan att $g(re^{i\theta })\rightarrow 0\,$ då $r\rightarrow \infty \,$ för alla $\theta \in [0,\pi ]$ (exempelvis om $g(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$ där P och Q är två polynom sådana att grad Q > grad P) gäller att

$\lim _{R\rightarrow \infty }\int _{C_{R}}{g(z)e^{imz}}\,dz=0\quad \forall m>0$

Tillämpningar

En vanlig tillämpning av Jordans lemma är att bestämma integralen av en funktion f på hela $\mathbb {R}$, eftersom kurvintegralen kring C kan skrivas:

$\int _{C}f(z)dz=\int _{C_{1}}f(z)dz+\int _{C_{2}}f(z)dz$

där C₂ är en del av den reella axeln. Om man nu låter radien på C gå mot oändligheten, kommer C₂ gå mot hela $\mathbb {R}$. Om f är en funktion så att $f(re^{i\theta })\to 0~~r\to \infty$, kommer första integralen, enligt ovan, gå mot noll så att:

$\int _{C}f(z)dz=\int _{C_{2}}f(z)dz$

och integralen i vänsterledet kan räknas ut med residysatsen, uttryckt som:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=2\pi i\sum Res[f(x)]$

där summan tas över alla residyer i övre komplexa halvplanet (den reella axeln exkluderad).

Källor

• Stephen D. Fisher (1999). Complex Variables. ISBN 0-486-40679-2