Jordans lemma
Jordans lemma är ett resultat inom komplex analys som ofta används vid beräkning av kurvintegraler. Lemmat är uppkallat efter matematikern Camille Jordan.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Jordan%27s_Lemma.svg/300px-Jordan%27s_Lemma.svg.png)
Det finns flera olika varianter av Jordans lemma, men en av dessa kan användas för att visa flera andra: Om C1 är övre halvcirkeln med radien R, gäller att
Med hjälp av detta kan man visa att om är en funktion sådan att då för alla (exempelvis om där P och Q är två polynom sådana att grad Q > grad P) gäller att
Tillämpningar
redigeraEn vanlig tillämpning av Jordans lemma är att bestämma integralen av en funktion f på hela , eftersom kurvintegralen kring C kan skrivas:
där C2 är en del av den reella axeln. Om man nu låter radien på C gå mot oändligheten, kommer C2 gå mot hela . Om f är en funktion så att , kommer första integralen, enligt ovan, gå mot noll så att:
och integralen i vänsterledet kan räknas ut med residysatsen, uttryckt som:
där summan tas över alla residyer i övre komplexa halvplanet (den reella axeln exkluderad).
Källor
redigera- Stephen D. Fisher (1999). Complex Variables. ISBN 0-486-40679-2