Residysatsen

Residysatsen eller Cauchys residysats uttrycker ett samband mellan vissa linjeintegraler av en funktion och dess Laurentserieutvecklingar i funktionens singulära punkter.

Formulering

Antag att $f$ är analytisk innanför och på en enkel sluten kurva $\gamma$ förutom i ändligt många punkter $z_{1},\ldots ,z_{n}$, då gäller:

$\oint _{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f;z_{k})$, där integrationsvägen är tagen moturs.

där $\operatorname {Res} (f;z_{k})$ är residyn för f i $z_{k}$.

Ovanstående är ett ofta använt specialfall av en allmännare sats: Låt f vara analytisk i ett område U förutom i ändligt många punkter $z_{1},\ldots ,z_{n}$ och $\gamma$ vara en sluten kurva (inte nödvändigtvis enkel) som omsluter, men inte går igenom någon av punkterna $z_{1},\ldots ,z_{n}$. Då gäller:

$\oint _{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f;z_{k})\operatorname {Ind} _{\gamma }(z_{k})$

där $\operatorname {Ind} _{\gamma }(z_{k})$ är omloppstalet för kurvan $\gamma$ kring punkten $z_{k}$.