Delambres analogier
Delambres analogier, Delambres formler eller Delambres ekvationer, ibland kallade Gauss analogier , Gauss formler eller Gauss ekvationer, är en uppsättning formler inom sfärisk trigonometri. För en sfärisk triangel på en enhetssfär gäller (beteckningar enligt figur 1):
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Triangle_sph%C3%A9rique.svg/250px-Triangle_sph%C3%A9rique.svg.png)
Motsvarande gäller även för övriga analoga kombinationer av hörnvinklar och sidor.
Utgående från ovanstående formler kan flera andra förhållanden inom den sfäriska trigonometrin visas, som exempelvis Napiers analogier.[1]
De plantrigonometriska motsvarigheterna kallas Mollweides formler eller Mollweides ekvationer:[2]
Härledningar
redigeraDelambres analogier med hjälp av de sfäriska formlerna för halva vinkeln
redigeraFrån den plana trigonometrin har vi att
vilket ger:
Vi expanderar nu högerledet med hjälp av de sfäriska formlerna för halva vinkeln:
- och
- där
och motsvarande formler för vilket ger:
Där vi i sista steget utnyttjade denna sfäriska formel för halva vinkeln:
Från den plana trigonometrin har vi också att
vilket ger oss
Där vi i sista steget utnyttjade
Från den plana trigonometrin har vi slutligen formeln för sinus för dubbla vinkeln:
Insättning av (2) och (3) i (1) ger oss:
De tre övriga analogierna visas analogt utgående från plantrigonometrins:
- ,
- respektive
med användande av relevanta plantrigonometriska formler för de uttryck som uppstår samt, i två av fallen:
Delambres analogier med hjälp av Napiers analogier
redigeraDelambres analogier kan användas för att enkelt visa Napiers analogier men de kan också erhållas ur dessa. För det begränsade fallet att alla hörnvinklar och sidor är mindre än [3] har vi.
den plantrigonomtriska satsen för cosinus för dubbla vinkeln
trigonometriska ettan
samt därefter
ger oss:
Vi har också från den plana trigonometrin att
vilket nu appliceras trefalt på vårt uttryck:
Där vi i näst sista steget utnyttjade Napiers analogi:
och i sista att
Omflyttning ger oss:
Då vi begränsat oss till vinklar och sidor som alla är mindre än blir halva summan av två vinklar eller sidor också mindre än och samtliga cosinusvärden är därför positiva, varför vi utan problem kan dra roten ur vårt uttryck och få:
Härledningen av
görs analogt via
De två återstående analogierna fås genom multiplikation av de två vi visat och två av Napiers analogier.
multiplicerad med
ger
På samma sätt ger multiplikation av
med
till resultat
Mollweides formler
redigeraDå storcirkelbågarna (triangelsidorna) i en sfärisk triangel görs allt mindre närmar dessa sig räta linjer och den sfäriska triangeln närmar sig en plan triangel. Då när följer Mollweides formler ur de två av Delambres analogier som står till höger i artikelns inledning.
Men Mollweides formler kan även visas helt plantrigonometriskt med hjälp av den planära sinussatsen:
Vi har:
De kända formlerna
- och
ger:
och och därefter ger oss:
Den andra formeln visas analogt.
Historia
redigeraJean-Baptiste Joseph Delambre publicerade sin upptäckt med ett geometriskt bevis i den franska astronomiska almanackan Connaissance des Temps för 1809, utgiven i april 1807.[4] Den 28 mars 1809, och oberoende av Delambre, publicerade Carl Friedrich Gauss analogierna utan bevis i Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium[5][6].[7] I tyskspråkiga länder kallas de därför ofta för "Gauss analogier" (Gaußsche Gleichungen), trots att Delambre bevisligen har företräde.[8]
Carl Brandan Mollweide publicerade sina formler 1808 i Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie.[9].
Referenser och noter
redigera- Isaac Todhunter, 1886, Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, Macmillan & Co, sid. 26-27 (artikel 54-55). Faksimil PDF (3 MB), TeX PDF (789 kB). 1883 års upplaga online på Google Books.
- Robert E.Moritz, 1913, A Text Book On Spherical Trigonometry, John Wiley And Sons, sid. 43-44.
- ^ Se Casey (2013) avsnitten 43-48 för andra exempel.
- ^ Knut Lundmark, Astronomisk matematik - Sfärisk trigonometri, Teknisk tidskrift, 29 juli 1944, sid. 885-896 (888).
- ^ Denna begränsning görs eftersom man annars bland annat måste visa att , vilket ligger utanför artikelns ändamål, men, visas detta gäller härledningen även för dessa fall.
- ^ Le Bureau des Longitudes, 1807, Connaissance des temps ou des mouvements célestes: à l'usage des astronomes et des navigateurs pour l'an 1809, Paris. Formlerna på sid. 445. Utgivningsår och -månad enligt tilelsidan.
- ^ C.F. Gauss, 1809, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, F. Perthes & I.H. Besser, Hamburg, sid. 51. Förordet daterat Göttingen 28 mars 1809, sid. xi.
- ^ C,F, Gauss, 1809, Theorie der Bewegung der Himmelskörper welche in Kegelschnitten die Sonne umlaufen, översättning till tyska av Carl Haase 1865 (eftertryck 2015), sid. 63 (122/444). PDF 26,7 MB.
- ^ John Casey, 2013, A Treatise on Spherical Trigonometry, and Its Application to Geodesy and Astronomy, with Numerous Examples, avsnitt 42. ISBN 9781447483489.
- ^ Johannes Tropfke, 1923, Geschichte der Elemantarmathematik, volym 5, sid 156. Nytryck 2011. ISBN 9783111447766.
- ^ C. B. Mollweide, Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie, Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde, november 1808, sid. 394–400 (formlerna på sid. 396 "Dadurch wird...").