Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

DefinitionRedigera

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

 

De kan även definieras trigonometriskt som

 

Deras genererande funktion är

 

Den exponentiella genererande funktionen är

 

En annan genererande funktion är

 

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

 

Deras genererande funktion är

 

EgenskaperRedigera

För varje icke-negativt heltal n är Tn(x) och Un(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (Ln), Dicksonpolynomen (Dn) och Fibonaccipolynomen (Fn) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

 

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

 

En formel analogisk till

 

är

 .

För   är

  and
 

som följer ur definitionen genom att låta  .

Låt

 

då är

 


OrtogonalitetRedigera

 

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningenRedigera

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

 
 
 
 
 , där n är udda.
 , där n är jämnt.

Explicita uttryckRedigera

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

 


 


 

där   är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktionerRedigera

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

   

Se ävenRedigera

ReferenserRedigera

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.

Externa länkarRedigera