Öppna huvudmenyn
För Carnots sats inom termodynamik, se Carnots sats (termodynamik).

Carnots sats avser vanligen en sats inom euklidisk geometri som säger att för en triangel med den omskrivna cirkelns radie och mittpunkt , den inskrivna cirkelns radie och mittpunkt och sidornas mittpunkter (tillika fotpunkter till sidorna), gäller:[1][2]

Här betecknar ett avstånd försett med tecken så att en längd är negativ om och endast om sträckan från till ligger helt utanför triangeln, vilket är fallet för en av sträckorna i en trubbvinklig triangel.

Trubbvinklig triangel Spetsvinklig triangel

Carnot theorem2.svg

Carnot theorem1.svg

Satsen är uppkallad efter den franske matematikern Lazare Carnot (1753-1823).[3]

Även en annan sats som också behandlar trianglar och fotlinjer till en punkt kallas ibland Carnots sats.[4] Denna sats säger (beteckningar som i figuren ovan) att för en triangel och en godtycklig punkt [5] med fotpunkterna på triangelsidorna gäller:

Denna sats generaliseras lätt till att gälla alla polygoner.[6]

Bevis av Carnots satsRedigera

Allmänt gäller att eftersom triangelns sidor är kordor till den omskrivna cirkeln, så är linjen från en sidas mittpunkt till den omskrivna cirkelns medelpunkt normal mot sidan, det vill säga att exempelvis vinkeln   (beteckningar enligt bild ovan) är rät.

Bevis för en spetsvinklig triangelRedigera

I en spetsvinklig triangel ligger den omskrivna cirkelns medelpunkt   inom triangeln. Vi ser att vi kan dela in triangeln i tre stycken fyrhörningar  ,   och  . Exempelvis   kan inskrivas i en cirkel med diametern   eftersom vinklarna vid   och   är räta (en konsekvens av Thales sats) och motsvarande gäller såklart för de bägge andra. Vi vet också att enligt Ptolemaios sats är produkten av diagonalerna i en inskriven fyrhörning lika med summan av de motstående sidornas produkter. Det vill säga för   får vi:

    (1)

vi ser vidare att:[7]

 ,
 ,
  samt
 

Om vi multiplicerar båda sidor i (1) med två och sätter in de fyra nyssnämnda likheterna får vi:

    (2)

och såklart motsvarande för de båda övriga fyrhörningarna:

    (3)
    (4)

Vår ursprungliga triangel   kan delas upp i tre trianglar på två olika sätt, dels i tre trianglar med ett hörn i   och dels tre trianglar med ett hörn i   (övriga hörn utgörs såklart av hörn i vår ursprungliga triangel) och ytan av vår triangel kan skrivas på två olika sätt (vi multiplicerar med två för att slippa en tvåa i nämnaren):

 
 [8]
    (5)

Genom att addera vänster och höger led i (2), (3), (4) och (5) fås

 
 

vilken förenklas till

 

och slutligen, eftersom summan av triangelsidornas längder är nollskild

 

Bevis för en trubbvinklig triangelRedigera

Beviset för en trubbvinklig triangel följer samma resonemang som för den spetsvinkliga ovan, men, eftersom   ligger utanför triangeln får detta vissa konsekvenser. Vi anser inledningsvis att alla sträckor har en positiv längd och struntar alltså i den avståndsdefinition som nämns i inledningen. Beteckningarna följer figuren ovan.

Liksom tidigare har vi tre fyrhörningar:  ,   och  . Av dessa är   "identisk" med tidigare och ger:

    (1)

De båda andra fyrhörningarna "slog knut" på sig själv när vi flyttade ut hörnet   och vi har ersatt dem med nya. Två tidigare sidor är nu diagonaler och de båda tidigare diagonalerna har blivit sidor.

Tillämpning av Ptolemaios sats på   ger:

 

Likartad behandling som i fallet med en spetsvinklig triangel ger oss:

 

Omstrukturering ger sedan:

    (2)

För den tredje fyrhörningen får vi på samma sätt:

    (3)

Den inskrivna cirkelns mittpunkt ligger självklart innanför triangeln, så, liksom tidigare:

 

Men för en "uppdelning" i tre trianglar med spetsen i   noterar vi att   det vill säga:

 

Vi slår ihop våra två areaberäkningar till:

     (4)

Addition av höger- och vänsterled i (1), (2), (3) och (4) ger

 
 

vilken förenklas till

 

och slutligen, eftersom summan av triangelsidornas längder är nollskild

 

Genom att nu definiera längden som negativ för sträckor som ligger helt utanför triangeln, som   gör, får vi:

 

Bevis för en rätvinklig triangelRedigera

I en rätvinklig triangel sammanfaller   med mittpunkten på hypotenusan, låt oss säga   (med beteckningar som i figurerna ovan). Att satsen även gäller när vi låter   gå mot noll ger såklart en fingervisning att den även gäller när  . Men, vi visar det ändå (på ett lite annorlunda sätt, eftersom två av fyrhörningarna i ovanbehandlade fall nu "blivit" trianglar):

Vår formel för arean som summan av tre trianglar med ett hörn i   gäller såklart:

 

Triangelns dubbla area kan självfallet också räknas ut som (vinkeln i B är ju rät):

 

Sätter vi ihop dessa får vi:

 

vilket ger en formel för den i en rätvinklig triangel inskrivna cirkelns radie:

 

Enligt Pythagoras sats har vi   så vi kan lägga till detta i vår formel för den inskrivna cirkelns radie (som vi först multiplicerar med två):

 

Och vi har ännu en formel för den i en rätvinlig triangel inskrivna cirkelns radie:

 

Eftersom hypotenusan är en diameter i den omskrivna cirkeln har vi också:

 

Dessa båda ger oss:

 

  är en rektangel och detta, samt att fotpunkterna är mittpunkter på sidorna,[9] ger oss   och   och sålunda, eftersom  , får vi:

 

Bevis av Carnots "andra" satsRedigera

Beviset följer enkelt genom att man för de sex rätvinkliga trianglar som har ett hörn i D och ett hörn vardera i en fotpunkterna (F, G eller H) och ett intilliggande hörn i △ABC (A, B eller C), alltså trianglarna △AGD, △BGD, △BHD, △CHD, △ CFD och △AFD tillämpar Pythagoras sats på dem och sedan adderar varannan och subtraherar varannan av dessa. Kvadraterna på hypotenusorna (AD, BD och CD) eliminerar då varandra och detsamma gör kvadraterna på de kateter som ansluter till D (DF, DG och DH):[10]

 
 
 
 
 
 

om vi adderar höger- och vänsterled i de sex ovanståene uttrycken får vi kvar:

 

Det vill säga:

 

ReferenserRedigera

  1. ^ Weisstein, Eric W., "Carnot's Theorem", MathWorld. (engelska)
  2. ^ Carnot's Theorem på Cut the Knot. (Om den "första" satsen).
  3. ^ Lazare Carnot, 1803, Géométrie de position, sid. 168 ff.
  4. ^ Carnot's Theorem på Cut the Knot. (Om den "andra" satsen).
  5. ^ Alltså ej nödvändigtvis den omskrivna cirkelns medelpunkt som i figuren.
  6. ^ Generalized Carnot's theorem på Cut the Knot.
  7. ^ ABC och AFG är likformiga trianglar och F och G är mittpunkter på sidorna.
  8. ^ Trianglarna med ett hörn i E har alla höjden r.
  9. ^ AC är ju en diameter och den omskrivna cirkelns medelpunkt D är såklart mittpunkt på AC. Att G är mittpunkt på AB och HAC följer av likformiga trianglar.
  10. ^ Om D ligger på en av sidorna, låt säga BC, sammanfaller D och H och avståndet |DH| blir noll, |CH| = |CD| och |BH| = |BD|. Exempelvis det tredje uttrycket fås då ur det triviala |BD|2 + 0 = |BD|2. Ännu mer trivialt blir det om D sammanfaller med ett av hörnen.