Beppo Levis sats

Beppo Levis sats är en matematisk sats i måtteori. Den säger att måttintegralen är sigma-additiv med avseende på icke-negativa mätbara funktioner. Satsen är uppkallad efter den italienska matematikern Beppo Levi som bevisade den. Observera att det finns andra satser som kallas Levis sats.

Satsen

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum och $f_{k}\geq 0$ vara mätbara funktioner. Beppo Levis sats säger att

$\int \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int f_{k}\,d\mu$.

Bevis

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna:

För $n\in \mathbb {N}$, beteckna

$g_{n}:=\sum _{k=1}^{n}f_{k}$.

Eftersom $f_{k}\geq 0\,$ för alla $k=1,2,...,n\,$ så är $0\leq g_{1}\leq g_{2}\leq \ldots g_{n}$ mätbara funktioner. Därför är monotona konvergenssatsen möjlig att använda för funktionerna $g_{n}\,$. Eftersom måttintegralen är additiv så är

$\int \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,d\mu =\int \lim _{n\rightarrow \infty }g_{n}\,d\mu {\stackrel {\mathrm {MKS} }{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }\int g_{n}\,d\mu {\stackrel {\mathrm {additiv} }{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}\int f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int f_{k}\,d\mu .$

Vilket bevisar satsen.

Se även

• Egenskaper hos måttintegral