Det finns flera satser som kallas monotona konvergenssatsen eller satsen om monton konvergens (SOMK).
SOMK för talföljder
redigera
Satsen säger att om en talföljd är begränsad och monoton så konvergerar den.
För funktionsföljd
redigera
Inom den matematiska analysen förkunnar monotona konvergenssatsen att om
μ
{\displaystyle \mu }
är ett mått på en mängd
X
{\displaystyle X}
och
f
n
{\displaystyle f_{n}}
är en växande följd av funktioner som antar icke negativa värden och är integrerbara med avseende på
μ
{\displaystyle \mu }
, så uppfyller funktionen
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}
likheten
lim
n
→
∞
∫
f
n
d
μ
=
∫
f
d
μ
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu .}
Olikheten
f
n
≤
f
{\displaystyle f_{n}\leq f}
ger att
∫
f
n
d
μ
≤
∫
f
d
μ
,
{\displaystyle \int f_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f\,\mathrm {d} \mu ,}
med en naturlig tolkning i det fall att
f
{\displaystyle f}
inte är integrerbar. Det följer att
lim
n
→
∞
∫
f
n
d
μ
≤
∫
f
d
μ
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu \leq \int f\,\mathrm {d} \mu .}
Om
lim
n
→
∞
∫
f
n
d
μ
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu =\infty }
, så är utsagan i satsen uppenbarligen sann. Antag att
lim
n
→
∞
∫
f
n
d
μ
<
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu <\infty }
. Då gäller att
∫
|
f
m
−
f
n
|
d
μ
=
∫
f
m
d
μ
−
∫
f
n
d
μ
→
0
,
m
≥
n
→
∞
.
{\displaystyle \int |f_{m}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu =\int f_{m}\,\mathrm {d} \mu -\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu \to 0,\quad m\geq n\to \infty .}
Tag enkla funktioner
g
n
{\displaystyle g_{n}}
sådana att
∫
|
g
n
−
f
n
|
d
μ
<
4
−
n
{\displaystyle \int |g_{n}-f_{n}|\,\mathrm {d} \mu <4^{-n}}
. Då är
μ
{
x
:
|
g
n
−
f
n
|
≥
2
−
n
}
<
2
−
n
.
{\displaystyle \mu \{\,x:|g_{n}-f_{n}|\geq 2^{-n}\,\}<2^{-n}.}
Det följer att
∫
|
g
n
−
g
m
|
d
μ
→
0
{\displaystyle \int |g_{n}-g_{m}|\,\mathrm {d} \mu \to 0}
när
m
,
n
→
∞
{\displaystyle m,n\to \infty }
, och
lim
n
g
n
=
f
{\displaystyle \lim _{n}g_{n}=f}
nästan överallt. Sålunda är
f
{\displaystyle f}
integrerbar och
∫
f
d
μ
=
lim
n
→
∞
∫
g
n
d
μ
=
lim
n
→
∞
∫
f
n
d
μ
.
{\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int g_{n}\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu .}