Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2024-01) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Inom matematiken är en asymptot en rät linje (eller annan enkel kurva) som en funktion närmar sig allt mer när man närmar sig definitionsmängdens gränser eller vissa punkter i definitionsmängden. Huvudsakliga användningsområdet är att approximera hur en funktion uppför sig i något område (vanligen då variabeln är mycket stor, det vill säga går mot oändligheten).
Lodrät asymptot
redigeraUppträder då funktionen har en pol i en punkt. Exempel inkluderar f(x) = 1 / (x 2 - 1), som har en lodrät asymptot i x = 1 och en i x = - 1. f(x) = (x 3 - 1) / (x 2 - 1) har bara en lodrät asymptot i x = - 1 då gränsvärdet för f(x) då x går mot - 1 från vänster och höger är oändligheten. Denna funktion har ingen asymptot i x = 1 för att dess gränsvärde är 3/2 då x går mot 1.
Med andra ord, en lodrät asymptot kan finnas i de x-värden som gör nämnaren i en funktion lika med 0. Till exempel för funktionen f(x) = 1 / (x 2 - 1) så finns asymptoter i x=1 och x=-1 eftersom nämnaren då blir 1 2 - 1 = 0. Obervera att det inte måste finnas någon lodrät aymptot där nämnaren är noll. T.ex. så har inte funktionen en lodrät asymptot i , då . Linjen är en lodrät asymptot till en funktionskurva om[1]
Vågrät asymptot
redigeraOm funktionen f(x) har ett gränsvärde a då x går mot plus (minus) oändligheten, så är y = a en vågrät linje och en vågrät asymptot till f.
Med andra ord, vågräta asymptoter existerar i funktioner där täljaren och nämnaren har samma grad, till exempel f(x) = (x 2 + 2) / (x 2 - 1) där graden i både täljaren och nämnaren är 2; x 2. Vågräta asymptoter existerar även i funktioner där nämnaren har högre grad än täljaren, till exempel f(x) = (x + 2) / (x 2 - 1) där graden i nämnaren är 2; x 2 och graden i täljaren är 1.
Y-värdet för asymptoten kan bestämmas genom att undersöka gränsvärdet för funktionen där x går mot oändligheten. Till exempel
Sned asymptot
redigeraFör vissa funktioner gäller att f(x) beter sig ungefär som en linjär funktion då x går mot oändligheten. Denna linjära funktion kallas för en sned asymptot. Enklast beräknas den genom att ansätta den linjära funktionen ax + b och lösa ekvationen
för konstanterna a och b.
Med andra ord, sneda asymptoter existerar i funktioner där täljaren har högre grad än nämnaren, till exempel f(x) = (x 2 + 2) / (x - 1) där täljarens grad är 2 och nämnarens grad är 1.
Den sneda asymptotens ekvation y = k×x+m fås genom att bestämma k-värdet (linjens lutning) genom
och sedan bestämma m-värdet (där linjen y = k×x + m skär y-axeln) genom sambandet
Asymptotiska kurvor
redigeraFör att beskriva en funktions beteende för stora värden på variabeln, räcker det ibland inte med raka asymptoter. I likhet med fallet 'sned asymptot' säger man att en given kurva y = g(x) är asymptotisk till funktionen f(x) om
- .
Exempelvis har f(x) = x2(1 - 1 / x3) + e-x en asymptotisk kurva i form av y = x2, då x går mot positiva oändligheten.
Se även
redigera- ^ Månsson, Jonas. Endimensionell analys