En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.

Definition

redigera

En algebra   över en kropp   är ett vektorrum   där det för varje par av element   finns en unik produkt   med egenskaperna:[1]

  •  
  •  
  •  

för   och  .

  sägs vara en associativ algebra om

 

och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om

 .

  kallas för algebra med neutralt element om det finns ett   så att

 .

Om   har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element,   och  , får man att

  •   eftersom   är ett neutralt element.
  •   eftersom   är ett neutralt element.

Alltså är  .

Normerad algebra

redigera

En associativ algebra   kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller

  •   för alla  
  •   om   har ett neutralt element  .

En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.[2]

Exempel

redigera

Tredimensionellt euklidiskt rum

redigera

Inre produktrummet   med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.

Matrisrum

redigera

Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med   rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element.[3] Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.[2]

Funktionsrum

redigera

Rummet   av alla kontinuerliga funktioner på intervallet   är en Banachalgebra med operationen[2]

  för alla  

  har det neutrala elementet 1 och normen

 .

Referenser

redigera
  1. ^ Karush 1962, s. 12.
  2. ^ [a b c] Karush 1962, s. 220.
  3. ^ Karush 1962, s. 197-198.

Källor

redigera
  • Karush, William; Jan Thomson och Bertil Rahm (1962). Matematisk uppslagsbok. Wahlström & Widstrand 

Externa länkar

redigera