Algebra över en kropp
En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.
Definition
redigeraEn algebra över en kropp är ett vektorrum där det för varje par av element finns en unik produkt med egenskaperna:[1]
för och .
sägs vara en associativ algebra om
och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om
- .
kallas för algebra med neutralt element om det finns ett så att
- .
Om har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, och , får man att
- eftersom är ett neutralt element.
- eftersom är ett neutralt element.
Alltså är .
Normerad algebra
redigeraEn associativ algebra kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller
- för alla
- om har ett neutralt element .
En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.[2]
Exempel
redigeraTredimensionellt euklidiskt rum
redigeraInre produktrummet med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.
Matrisrum
redigeraRummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element.[3] Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.[2]
Funktionsrum
redigeraRummet av alla kontinuerliga funktioner på intervallet är en Banachalgebra med operationen[2]
- för alla
har det neutrala elementet 1 och normen
- .
Referenser
redigeraNoter
redigera- ^ Karush 1962, s. 12.
- ^ [a b c] Karush 1962, s. 220.
- ^ Karush 1962, s. 197-198.
Källor
redigera- Karush, William; Jan Thomson och Bertil Rahm (1962). Matematisk uppslagsbok. Wahlström & Widstrand