Zorns lemma är inom mängdläran, en sats av fundamental betydelse. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

Zorns lemma kan användas för att visa att varje sammanhängande graf har ett uppspännande träd

För att kunna förstå Zorns lemma introduceras några begrepp som är av vikt även utanför denna artikel.

DefinitionerRedigera

En partiellt ordnad mängd är ett par   där

  •   är en icke-tom mängd;
  • Symbolen   betecknar en binär relation  med tre egenskaper:
    • (Reflexivitet) Varje element   uppfyller relationen  
    • (Antisymmetri) Om   och   så är  
    • (Transitivitet) Om   och   så är  

En totalt ordnad mängd är en partiellt ordnad mängd   med egenskapen att om   och   är två element i mängden   så är   eller  

Ett element   är en övre begränsning till en totalt ordnad delmängd   av den partiellt ordnade mängden   om varje element   i mängden   uppfyller relationen  

Ett element   är ett maximal-element till mängden   om det har egenskapen att närhelst   är ett element i   sådant att  , så är  .

Med dessa förberedelser gjorda kan vi formulera det centrala resultatet i denna artikel.

Zorns lemmaRedigera

Låt   vara en icke-tom partiellt ordnad mängd. Antag att varje totalt ordnad delmängd av   har en övre begränsning. Då finns det minst ett maximal-element till mängden  .

Tillämpning: Existens av en Hamelbas i ett vektorrumRedigera

Varje vektorrum   har en Hamelbas.

BevisRedigera

Låt   vara en samling bestående av alla linjärt oberoende delmängder,  , till vektorrummet  . Mängden   är alltså ett element i  .

Eftersom   så finns det ett element   i vektorrummet  . Detta element ger i sin tur upphov till en-punkts-mängden  , som är en linjärt oberoende delmängd: Det enda sättet på vilket ekvationen   kan uppfyllas, är om det komplexa talet   Detta visar att   är ett element i samlingen  , varför denna är en icke-tom mängd.

Paret   är en partiellt ordnad mängd, där den binära relationen ' ' betecknar mängd-inklusion:   betyder att   är en delmängd till mängden  .

Låt   vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av  . Varje objekt   är en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet  . Unionen av dessa delmängder,  , är också en linjärt oberoende delmängd av  , varför  . Objektet   är enligt konstruktion en övre begränsning till  . Detta visar att varje total ordnad delmängd av   har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss då dra slutsatsen att samlingen   har minst ett maximal-element. Låt   vara ett maximal-element till  . Betraktad som ett element i samlingen  , är   en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet  . Det är därför meningsfullt att studera det linjära spannet   av  .

Enligt definitionen av linjärt spann är   en delmängd av  . Vi skall visa att   genom att anta motsatsen. Vi antar alltså att det finns ett element   som inte är ett element i  . Detta element ger upphov till den linjärt oberoende mängden   som, tillsammans med  , ger den linjärt oberoende delmängden   av vektorrummet  . Vi ser att  , varför vi måste dra slutsatsen att   eftersom   är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden  . Detta innebär att  , vilket motsäger antagandet att  .

Sammanfattningsvis har vi visat att det finns en linjärt oberoende delmängd   som är sådan att  , det vill säga: Mängden   är en Hamelbas för vektorrummet  .

Tillämpning: Existens av en ortonormal bas i ett HilbertrumRedigera

Varje Hilbertrum   har en ortonormal bas.

BevisRedigera

Låt   vara en samling bestående av alla ortonormala delmängder av Hilbertrummet  . Det finns ett element   i detta Hilbertrum, eftersom vi antar att  . Detta element ger upphov till den ortonormala mängden  , där elementet  , vilket visar att samlingen   är icke-tom.

Paret   utgör en partiellt ordnad mängd, där symbolen   betecknar mängd-inklusion.

Låt   vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av  . Elementen i   utgörs av ortogonala delmängder till Hilbertrummet  . Unionen av dessa delmängder,  , är också en ortogonal delmängd av  . Eftersom varje mängd   är en delmängd av  , det vill säga  , är   en övre begränsning till samlingen  , med avseende på den partiella ordningen ' '. Detta visar att varje totalt ordnad delmängd av   har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss dra slutsatsen att samlingen   har ett maximal-element, som vi betecknar med symbolen  . Detta maximal-element är en ortonormal delmängd av Hilbertrummet  . Om vi kan visa att   även är en total delmängd av  , så är   en ortonormal bas till Hilbertrummet.

Det slutna höljet   av det linjära spannet   är en delmängd av  . Vi vill visa att  . För att göra detta antar vi motsatsen och visar att detta leder till en motsägelse.

Vi antar därför att det finns ett element,  , i Hilbertrummet   som är sådant att  . Detta element är ortogonalt mot mängden F. Tillsammans bildar de den ortonormala mängden  , där elementet  . Vi ser att  , vilket innebär att vi tvingas dra slutsatsen att  , eftersom   är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden  . Detta leder fram till motsägelsen:   och  .

Sammanfattningsvis har vi visat att varje Hilbertrum   har en ortonormal bas.

Resultat ekvivalenta med Zorns lemmaRedigera

  • Zorns lemma är ekvivalent med Urvalsaxiomet: Låt E vara en mängd. Då finns det en funktion   som avbildar varje delmängd   på ett element  .
  • Urvalsaxiomet är också ekvivalent med Tychonoffs teorem inom topologi: Låt   vara en familj av kompakta topologiska rum. Då är paret   ett kompakt topologiskt rum, där   betecknar

produkt-topologin  .

  • Zorns lemma är ekvivalent med Hausdorffs maximalitetsprincip: Låt   vara en partiellt ordnad mängd. Då finns det en totalt ordnad mängd   sådan att
    •  ;
    • Om   är sådan att  , så är   inte en totalt ordnad mängd.

Ett annat sätt att uttrycka Hausdorffs maximalitetsprincip är: Varje partiellt ordnad mängd har en maximal totalt ordnad delmängd.

  • Zorns lemma är ekvivalent med principen om väl-ordning: För varje icke-tom mängd X går det att konstruera en ordningsrelation   på X, sådan att paret   är en välordnad mängd.

Zorns lemma är en sats inom mängdläran. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

Givet en icke-tom partiellt ordnad mängd M som är sådan att varje kedja har en övre gräns, så existerar ett maximalt element i M.

Zorns lemma visas med hjälp av urvalsaxiomet. Vidare kan urvalsaxiomet, givet mängdlärans övriga axiom, visas med hjälp av Zorns lemma. Därmed är Zorns lemma och urvalsaxiomet ekvivalenta givet axiomen i ZF.