Zorns lemma

Zorns lemma är inom mängdläran, en sats av fundamental betydelse. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

För att kunna förstå Zorns lemma introduceras några begrepp som är av vikt även utanför denna artikel.

Definitioner

En partiellt ordnad mängd är ett par $(M,\leq )$ där

$M$ är en icke-tom mängd;
Symbolen $\leq$ betecknar en binär relation på $M$ med tre egenskaper:
- (Reflexivitet) Varje element $a\in M$ uppfyller relationen $a\leq a$
- (Antisymmetri) Om $a\leq b$ och $b\leq a$ så är $a=b.$
- (Transitivitet) Om $a\leq b$ och $b\leq c$ så är $a\leq c.$

En totalt ordnad mängd är en partiellt ordnad mängd $(M,\leq )$ med egenskapen att om $x$ och $y$ är två element i mängden $M$ så är $x\leq y$ eller $y\leq x.$

Ett element $u\in M$ är en övre begränsning till en totalt ordnad delmängd $T$ av den partiellt ordnade mängden $(M,\leq )$ om varje element $x$ i mängden $M$ uppfyller relationen $x\leq u.$

Ett element $m\in M$ är ett maximal-element till mängden $M$ om det har egenskapen att närhelst $x$ är ett element i $M$ sådant att $m\leq x$ , så är $x=m$ .

Med dessa förberedelser gjorda kan vi formulera det centrala resultatet i denna artikel.

Zorns lemma

Låt $(M,\leq )$ vara en icke-tom partiellt ordnad mängd. Antag att varje totalt ordnad delmängd av $M$ har en övre begränsning. Då finns det minst ett maximal-element till mängden $M$ .

Tillämpning: Existens av en Hamelbas i ett vektorrum

Varje vektorrum $X\neq \{0\}$ har en Hamelbas.

Bevis

Låt ${\mathcal {M}}$ vara en samling bestående av alla linjärt oberoende delmängder, $A_{i}$ , till vektorrummet $X$ . Mängden $A_{i}$ är alltså ett element i ${\mathcal {M}}$ .

Eftersom $X\neq \{0\}$ så finns det ett element $x\neq 0$ i vektorrummet $X$ . Detta element ger i sin tur upphov till en-punkts-mängden $\{x\}$ , som är en linjärt oberoende delmängd: Det enda sättet på vilket ekvationen $\alpha x=0$ kan uppfyllas, är om det komplexa talet $\alpha =0.$ Detta visar att $\{x\}$ är ett element i samlingen ${\mathcal {M}}$ , varför denna är en icke-tom mängd.

Paret $(M,\subseteq )$ är en partiellt ordnad mängd, där den binära relationen ' $\subseteq$ ' betecknar mängd-inklusion: $A\subseteq B$ betyder att $A$ är en delmängd till mängden $B$ .

Låt ${\mathcal {A}}=\{A_{i}\}_{i\in I}$ vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av ${\mathcal {M}}$ . Varje objekt $A_{i}$ är en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet $X$ . Unionen av dessa delmängder, $B=\cup _{i\in I}A_{i}$ , är också en linjärt oberoende delmängd av $X$ , varför $B\in {\mathcal {M}}$ . Objektet $B$ är enligt konstruktion en övre begränsning till ${\mathcal {A}}$ . Detta visar att varje total ordnad delmängd av ${\mathcal {M}}$ har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss då dra slutsatsen att samlingen ${\mathcal {M}}$ har minst ett maximal-element. Låt $H$ vara ett maximal-element till ${\mathcal {M}}$ . Betraktad som ett element i samlingen ${\mathcal {M}}$ , är $H$ en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet $X$ . Det är därför meningsfullt att studera det linjära spannet $span(H)$ av $H$ .

Enligt definitionen av linjärt spann är $span(H)$ en delmängd av $X$ . Vi skall visa att $X=span(H)$ genom att anta motsatsen. Vi antar alltså att det finns ett element $w\in X$ som inte är ett element i $span(H)$ . Detta element ger upphov till den linjärt oberoende mängden $\{w\}$ som, tillsammans med $H$ , ger den linjärt oberoende delmängden $\{w\}\cup H$ av vektorrummet $X$ . Vi ser att $H\subseteq \{w\}\cup H$ , varför vi måste dra slutsatsen att $H=\{w\}\cup H$ eftersom $H$ är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden $({\mathcal {M}},\subseteq )$ . Detta innebär att $w\in H$ , vilket motsäger antagandet att $w\notin H$ .

Sammanfattningsvis har vi visat att det finns en linjärt oberoende delmängd $H\subseteq X$ som är sådan att $span(H)=X$ , det vill säga: Mängden $H$ är en Hamelbas för vektorrummet $X$ .

Tillämpning: Existens av en ortonormal bas i ett Hilbertrum

Varje Hilbertrum $X\neq \{0\}$ har en ortonormal bas.

Bevis

Låt ${\mathcal {M}}$ vara en samling bestående av alla ortonormala delmängder av Hilbertrummet $H$ . Det finns ett element $x\neq 0$ i detta Hilbertrum, eftersom vi antar att $H\neq \{0\}$ . Detta element ger upphov till den ortonormala mängden $\{y\}$ , där elementet $y=\Vert x\Vert ^{-1}x$ , vilket visar att samlingen ${\mathcal {M}}$ är icke-tom.

Paret $({\mathcal {M}},\subseteq )$ utgör en partiellt ordnad mängd, där symbolen $\subseteq$ betecknar mängd-inklusion.

Låt ${\mathcal {A}}=\{A_{i}\}_{i\in I}$ vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av ${\mathcal {M}}$ . Elementen i ${\mathcal {A}}$ utgörs av ortogonala delmängder till Hilbertrummet $H$ . Unionen av dessa delmängder, $B=\cup _{i\in I}A_{i}$ , är också en ortogonal delmängd av $H$ . Eftersom varje mängd $A_{i}$ är en delmängd av $B$ , det vill säga $A_{i}\subseteq B$ , är $B$ en övre begränsning till samlingen ${\mathcal {A}}$ , med avseende på den partiella ordningen ' $\subseteq$ '. Detta visar att varje totalt ordnad delmängd av ${\mathcal {M}}$ har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss dra slutsatsen att samlingen ${\mathcal {M}}$ har ett maximal-element, som vi betecknar med symbolen $F$ . Detta maximal-element är en ortonormal delmängd av Hilbertrummet $H$ . Om vi kan visa att $F$ även är en total delmängd av $H$ , så är $F$ en ortonormal bas till Hilbertrummet.

Det slutna höljet ${\overline {span(F)}}$ av det linjära spannet $span(F)$ är en delmängd av $H$ . Vi vill visa att $H={\overline {span(F)}}$ . För att göra detta antar vi motsatsen och visar att detta leder till en motsägelse.

Vi antar därför att det finns ett element, $z\neq 0$ , i Hilbertrummet $H$ som är sådant att $z\notin {\overline {span(F)}}$ . Detta element är ortogonalt mot mängden F. Tillsammans bildar de den ortonormala mängden $F\cup \{e\}\in {\mathcal {M}}$ , där elementet $e=\Vert z\Vert ^{-1}z$ . Vi ser att $F\subseteq F\cup \{e\}$ , vilket innebär att vi tvingas dra slutsatsen att $F=F\cup \{e\}$ , eftersom $F$ är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden $({\mathcal {M}},\subseteq )$ . Detta leder fram till motsägelsen: $z\in F$ och $z\notin F$ .

Sammanfattningsvis har vi visat att varje Hilbertrum $H\neq \{0\}$ har en ortonormal bas.

Resultat ekvivalenta med Zorns lemma

Zorns lemma är ekvivalent med Urvalsaxiomet: Låt E vara en mängd. Då finns det en funktion $f:2^{E}\longrightarrow E$ som avbildar varje delmängd $M\subseteq E$ på ett element $f(M)\in M$ .

Urvalsaxiomet är också ekvivalent med Tychonoffs teorem inom topologi: Låt $\{(X_{i},T_{i})\}_{i\in I}$ vara en familj av kompakta topologiska rum. Då är paret $(\prod _{i\in I}X_{i},\,\prod _{i\in I}T_{i})$ ett kompakt topologiskt rum, där $\prod _{i\in I}T_{i}$ betecknar

produkt-topologin på $\prod _{i\in I}X_{i}$ .

Zorns lemma är ekvivalent med Hausdorffs maximalitetsprincip: Låt $(X,\leq )$ vara en partiellt ordnad mängd. Då finns det en totalt ordnad mängd $(E,\leq )$ sådan att
- $E\subseteq X$ ;
- Om $M\subseteq X$ är sådan att $E\subset M$ , så är $(M,\leq )$ inte en totalt ordnad mängd.

Ett annat sätt att uttrycka Hausdorffs maximalitetsprincip är: Varje partiellt ordnad mängd har en maximal totalt ordnad delmängd.

Zorns lemma är ekvivalent med principen om väl-ordning: För varje icke-tom mängd X går det att konstruera en ordningsrelation $\leq$ på X, sådan att paret $(X,\leq )$ är en välordnad mängd.

Zorns lemma är en sats inom mängdläran. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

Givet en icke-tom partiellt ordnad mängd M som är sådan att varje kedja har en övre gräns, så existerar ett maximalt element i M.

Zorns lemma visas med hjälp av urvalsaxiomet. Vidare kan urvalsaxiomet, givet mängdlärans övriga axiom, visas med hjälp av Zorns lemma. Därmed är Zorns lemma och urvalsaxiomet ekvivalenta givet axiomen i ZF.