Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna .

DefinitionRedigera

Låt   vara strukturer av en fix signatur, och   ett ultrafilter på I. Låt   vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation    genom   omm  . Låt   vara kvoten av   med avseende på  . Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

  omm  

där  . Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna   med avseende på ultrafiltret  .

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

ExempelRedigera

  • Ultraprodukten av en mängd strukturer   med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i   är isomorf med  
  • Ultraprodukten av en mängd kroppar   där   har karakteristik  , det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
  • Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.
  Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.