Ultraprodukt

Inom matematiken, särskilt inom modell- och mängdteori, används ultraprodukter för att, givet en mängd $A_{i},i\in I$ av strukturer av viss signatur, konstruera en struktur $A=\Pi _{\mathcal {F}}A_{i}$ sådan att varje första ordningens påstående är sant i A omm det är sant i "många" av strukturerna $A_{i}$.

Definition

Låt $A_{i},i\in I$ vara strukturer av en fix signatur, och ${\mathcal {F}}$ ett ultrafilter på I. Låt $S=\Pi _{i\in I}A_{i}$ vara direkta produkten av strukturerna. Definiera en ekvivalensrelation $\equiv$på $S$ genom $(a_{i})\equiv (b_{i})$ omm $\{i\in I\mid a_{i}=b_{i}\}\in {\mathcal {F}}$. Låt $A$ vara kvoten av $S$ med avseende på $\equiv$. Tolkningen av en relationssymbol R i A ges av

$A\models R(a^{1},...,a^{n})$ omm $\{i\in I\mid A_{i}\models R(a_{i}^{1},...,a_{i}^{n}\}\in {\mathcal {F}}$

där $a^{j}=(a_{i}^{j})$. Funktionssymboler och konstanter tolkas analogt. Man visar att detta ger en väldefiniterad struktur, kallad ultraprodukten av strukturerna $A_{i}$ med avseende på ultrafiltret ${\mathcal {F}}$.

Om alla strukturerna i den mängd man tar ultraprodukten över är lika kallas produkten en ultrapotens

Exempel

• Ultraprodukten av en mängd strukturer $A_{i},i\in I$ med avseende på ett principalt ultrafilter med stöd i $j\in I$ är isomorf med $A_{j}$
• Ultraprodukten av en mängd kroppar $K_{i}$ där $K_{i}$ har karakteristik $p_{i}$, det i:te primtalet, med avseende på ett icke-principalt ultrafilter, är en kropp av karakteristik 0. Detta ger en formell tolkning av Lefschetz princip i algebraisk geometri.
• Ultrapotensen av en oändlig mängd av kopior av de reella talen med avseende på ett icke-principalt ultrafilter är en s.k. icke-standardmodell för de reella talen, i vilken man kan konstruera icke-standardanalys.