Spektrum (algebraisk geometri)

Ett spektrum är inom algebraisk geometri och kommutativ algebra ett topologiskt rum som består av mängden av primideal i en given ring, utrustad med Zariskitopologin. På detta topologiska rum finns en naturligt definierad kärve av ringar.

Definition

Låt $R$ vara en kommutativ ring. Då är $\operatorname {Spec} (R)$ mängden av primideal i $R$ med topologin som genereras av mängderna

$D_{f}=\{p\in \operatorname {Spec} (R)|f\not \in p\}$

Låter vi sedan ${\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (R)}(D_{f})=R_{f}$, lokaliseringen av $R$ med avseende på potenser av $f$, definierar detta en kärve på $\operatorname {Spec} (R)$.

Funktorialitet

En ringhomomorfism $f:R\rightarrow S$ ger upphov till en avbildning $f^{*}:\operatorname {Spec} (S)\rightarrow \operatorname {Spec} (R)$ genom att sända ett primideal ${\mathfrak {p}}\subset S$ till dess förbild $f^{-1}({\mathfrak {p}})\subset R$. Detta är också ett primideal och alltså en punkt i $\operatorname {Spec} (R)$. Dessutom är $f^{*}$ kontinuerlig. Denna operation är kompatibel med sammansättning av ringhomomorfismer i meningen att

$(f\circ g)^{*}=g^{*}\circ f^{*}$.

Detta innebär att $\operatorname {Spec}$ är en (kontravariant) funktor från kategorin av ringar till kategorin av topologiska rum.

Användningsområden

I modern algebraisk geometri är spektra av ringar en lokal modell för algebraiska varieteter.

Referenser

• Hartshorne, Robin (1997). Algebraic Geometry. Springer Verlag. sid. 70. ISBN 0-387-90244-9