Öppna huvudmenyn

I matematiken är en kärve en struktur som varierar på ett kontinuerligt sätt över ett topologiskt rum. Exempel på vanliga strukturer är abelska grupper, mängder och ringar. Kärvar är ett fundamentalt verktyg i all global geometri.

DefinitionRedigera

En kärve av abelska grupper på ett topologiskt rum X är en funktion F som till varje öppen mängd U i X associerar en abelsk grupp F(U) samt till varje inklusion av öppna mängder   associerar en homomorfi av abelska grupper  , så att följande axiom är satisfierade:

  1. Om   samt  ,   och   är de inducerade homomorfierna gäller  
  2. Om   är en övertäckning av U och   är avbildningen inducerad av inklusionen   och   är sådan att   för varje i gäller  
  3. Om   är en övertäckning av U,   är avbildningen inducerad av inklusionen  ,   är avbildningen inducerad av inklusionen   och   är givna sådana att   för varje i,j existerar   så att   för varje i.

ExempelRedigera

  • För ett topologiskt rum X är funktionen som associerar till varje öppen mängd U mängden av funktioner från U till R (de reella talen) en kärve, med restriktion av funktioner som restriktionsavbildning.
  • På en differentierbar mångfald (eller algebraisk varietet) X är funktionen som associerar till en öppen mängd U vektorfälten på U en kärve, med restriktion av vektorfält som restriktionsavbildning. Denna kallas tangentkärven till X.
  • Given ett topologiskt rum och en abelsk grupp A, så är funktionen som associerar till varje öppen mängd U mängden av kontinuerliga funktioner från U till A där A givits den diskreta topologin en kärve, med restriktion av funktioner som restriktionsavbilning. Denna kärve kallas den konstanta kärven med koefficienter i A.