Inom matematiken är en algebraisk varietet ett geometriskt objekt som lokalt definieras av polynomekvationer.

Affina varieteter

redigera

Det enklaste exemplet på algebraiska varieteter är de affina algebraiska varieteterna. Givet en kropp   så är en affin algebraisk varietet över k en delmängd till det affina rummet   som för något koordinatsystem   kan beskrivas som den gemensamma lösningsmängden för ett antal polynom   i variablerna   .

Då kroppen k är algebraiskt sluten, vilket är det geometriska fallet, kan man visa att lösningsmängden bestäms unikt av radikalen för idealet som genereras av polynomen   i polynomringen   . Efter att ha infört ett isomorfibegrepp för affina algebraiska varieteter kan man vidare visa att två varieteter givna av polynomen  respektive   är isomorfa om det gäller att

 

Studiet av affina algebraiska varieteter över en algebraiskt sluten kropp k är således väsentligen ekvivalent med studier av helhetsområden som är ändliggenererade algebror över k.

Projektiva varieteter

redigera

En projektiv varietet är en delmängd till det projektiva rummet   som är nollställemängden till ett antal homogena polynom med variabler   från en givet homogent koordinatsystem på  . Projektiva varieteter har en egenskap, kompletthet, som är analog med kompakthet för topologiska rum.

Mer generella varieteter

redigera

Under den tidiga utvecklingen av teorin för jacobianer konstruerade Weil ett abstrakt varietetsbegrepp genom att definiera ihopklistringar av affina varieteter. Inom ramen för detta varietetsbegrepp ryms varieteter som inte kan ges någon projektiv struktur.

Weils teori blev emellertid snart omodern i och med utvecklingen av Grothendiecks teori för scheman, som drastiskt generaliserade begreppet varietet. Den moderna definitionen av en algebraisk varietet sker med hjälp av schemabegreppet, som ett schema med vissa särskilda egenskaper.

Referenser

redigera